[論文レビュー] Growth of Galton-Watson trees: immigration and lifetimes

Matthias Winkel|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、再生過程を介して、ランダムな寿命と移民を伴うガルトン＝ワトソン森の一貫性のある族を導入し、特徴づける。これは、マコフ連続状態ブランチング過程に関する先行研究を拡張するものである。本稿は、非マコフ連続状態ブランチング過程、特にサギトフの連続状態ブランチング過程の再生に基づく一般化と関連する、これらの確率的森の一般枠組みを確立する。

ABSTRACT

We study certain consistent families (Fλ)λ≥0 of Galton-Watson forests with lifetimes as edge lengths and/or immigrants as progenitors of the trees in Fλ. Specifically, consistency here refers to the property that for each µ ≤ λ, the forest Fµ has the same distribution as the subforest of Fλ spanned by the black leaves in a Bernoulli leaf colouring, where each leaf of Fλ is coloured in black independently with probability µ/λ. The case of exponentially distributed lifetimes and no immigration was studied by Duquesne and Winkel and related to the genealogy of Markovian continuous-state branching processes. We characterise here such families in the framework of arbitrary lifetime distributions and immigration according to a renewal process, related to Sagitov’s (non-Markovian)generalisation of continuous-state branching renewal processes, and similar processes with immigration.

研究の動機と目的

• 指数的寿命かつ移民なしのケースに限らない、一貫性のあるガルトン＝ワトソン森の族の枠組みを拡張すること。
• 任意の寿命分布と再生過程による移民に従う状況下で、このような族を特徴づけること。
• これらの森過程とサギトフの非マコフ連続状態ブランチング過程の再生移民一般化との関係を確立すること。
• ベルヌーイ葉の彩色による一貫性の形式化により、低強度レベルにおける部分森がそのレベルでの完全な森の分布と一致することを保証すること。

提案手法

• 各Fλの辺の長さが寿命を表し、移民が初期個体を形成するガルトン＝ワトソン森の族(Fλ)λ≥0を定義する。
• ベルヌーイ葉の彩色メカニズムにより一貫性を課す：Fλの各葉は確率µ/λで黒に彩色され、Fµは黒い葉によって誘導される部分森と同分布である。
• 移民を再生過程としてモデル化し、移民の木の間隔を一般化した。
• 寿命マークを備えたガルトン＝ワトソン木の構造を用いて、連続状態ブランチング過程における系統的過程と結びつける。
• 一般の寿命分布と非ポアソン的移民を許容する点で、デュクエンヌとウィンケルの枠組みを拡張する。
• 確率的微積分とブランチング過程理論を用いて、得られる過程がサギトフの非マコフ連続状態ブランチング再生過程の一般化として特徴づけられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の寿命分布と再生に基づく移民を伴う一貫性のあるガルトン＝ワトソン森の族は、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 このような森族と再生移民を伴う非マコフ連続状態ブランチング過程との関係は何か？
• RQ3 ランダムな葉の薄切りにおける一貫性条件（分布の保存）は、森の構造とそのパrameterにどのような制約を課えるか？
• RQ4 これらの森は、デュクエンヌとウィンケルのマコフ枠組みをどのように一般化するか？
• RQ5 再生過程は、森の長期的挙動と系統的構造にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、任意の寿命分布と再生過程による移民を伴う一貫性のあるガルトン＝ワトソン森の族を完全に特徴づけた。
• このような族が、正確に再生移民を伴う非マコフ連続状態ブランチング過程に対応することが示された。これはサギトフの枠組みを一般化するものである。
• ベルヌーイ葉の彩色における一貫性条件が、すべての強度レベルλにおける森族の構造を一意に決定する。
• 一般の寿命分布と再生に基づく移民を許容することで、デュクエンヌとウィンケルが検討したマコフケースを非マコフ的ダイナミクスへと拡張した枠組みが得られた。
• 森の系統的構造は、関連する連続状態ブランチング過程の標本路と直接的に関連しており、スケールにわたる一貫性性質が保たれている。