[論文レビュー] Hermitian One-Matrix Model and KP Hierarchy

Jian Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、京都学派の枠組み—ボソン・フェルミオン対応およびtau関数理論—を用いて、ヘルミート1行列模型の生成関数に対応するSato Grassmannianの要素を明示的に特定することで、その模型とKP階層との間の接続を確立する。これにより、n点相関関数の明示的公式が導かれ、トポロジカル再帰やToda格子法とは異なる、代数的・幾何学的アプローチが提供される。

ABSTRACT

The partition functions of Hermitian one-matrix models are known to be tau-functions of the KP hierarchy. In this paper we explicitly compute the elements in Sato grassmannian these tau-functions correspond to, and use them to compute the $n$-point functions of Hermitian one-matrix model.

研究の動機と目的

• ヘリミート1行列模型の生成関数とSato Grassmannian内の要素との間の明確な対応関係を確立すること。
• ループ方程式やトポロジカル再帰を用いずに、KP階層の枠組みを用いて模型のn点相関関数を計算すること。
• 対称群およびユニタリ群の表現論を活用して、生成関数をシュール関数の形に表現し、明示的計算を可能にすること。
• 't Hooftカップリングを用いて、有限Nから連続的パラメータtの家族への一般化を図ることで、n点関数の連続的バージョンを可能にすること。
• 可積分系および頂点演算子代数を用いて、行列模型における相関関数を計算する、新たな代数的構造を持つ手法を提供すること。

提案手法

• Sato Grassmannianとボソン・フェルミオン対応を用いて、生成関数をKP階層のtau関数として表現する。
• 対称群の表現論を用いて、生成関数をニュートンの初等対称関数からシュール関数へ変換する。
• 著者による先行研究で得られたKP tau関数のn点関数に対する既知の公式を、ヘリミート行列模型の具体的な場合に適用する。
• 't Hooftカップリングを介して連続的パラメータtを導入し、離散的Nの場合を連続的tパラメータ族のtau関数へ一般化する。
• 対称関数とヘリミート行列上のガウス測度を用いた形式的量子場理論の枠組みを用いて、相関関数を定義する。
• 生成関数を用いて、リゾルベントおよび対称関数代数の構造定数を含む明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘリミート1行列模型の生成関数を、Sato Grassmannian内のどの特定の要素として明示的に実現できるか。
• RQ2 有限Nにおける生成関数ZNに対応する正確なSato Grassmannian要素は何か。
• RQ3 ループ方程式を用いずに、KP階層のデータからヘリミート行列模型のn点相関関数を直接計算できるか。
• RQ4 対称群およびユニタリ群の表現論は、この文脈において、初等対称関数からシュール関数への移行をどのように支援するか。
• RQ5 有限N模型を't Hooftカップリングを用いて連続的tパラメータ族へ一般化できる範囲はどの程度か。また、この一般化はn点関数にどのような影響を与えるか。

主な発見

• ヘリミート1行列模型の生成関数ZNは、表現論的手法を用いて明示的に構成されたSato Grassmannian内の特定の要素に対応する。
• n点関数は、KP tau関数の既知の公式を用いて導出され、リゾルベントおよび構造定数を含む明示的な有理関数生成関数が得られる。
• 1点関数については、G(1)N(x) = A(x,x) が成り立ち、x−21までNの多項式係数が明示的に得られ、A035309のような既知の数列と一致する。
• 2点関数は、G(2)N(x,y) = [A(x,y)−A(y,x)]/(x−y) − A(x,y)A(y,x) で与えられ、x−19y−19までおよびそれ以上の項が明示的に計算されている。
• 3点関数は、リゾルベントの差とA(x,y)の積を含む有理関数の和として表現され、Nの累乗および[3,2,2]、[5,2,2]などの単項式を係数に持つ。
• 't Hooftカップリングによる連続的極限により、同じ公式が非整数tに対しても拡張可能であり、離散的Nの結果が滑らかなKP tau関数族に一般化される。