[論文レビュー] Higher S-dualities and Shephard-Todd groups

Sergio Cecotti, Michele Del Zotto|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、 McKay 対応を介して matter の電荷格子を反射群に結びつけることにより、4次元 $\epsilon=2$ 超共形場理論（SCFT）における S 対称性のホモロジー的枠組みを確立する。S 対称性群は、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}(\omega)$、$\mathbb{Q}(i)$ 上のユニタリ反射として実現される Shephard-Todd 群—$\mathfrak{S}_3$、$G_4$、$G_8$ 及びそれらの積—によって作用し、複素乗法の異なる体においても構造が保存されることを示す。

ABSTRACT

Seiberg and Witten have shown that in N=2 SQCD with $N_f=2N_c=4$ the S-duality group PSL(2,Z) acts on the flavor charges, which are weights of Spin(8), by triality. There are other N=2 SCFTs in which SU(2) SYM is coupled to strongly-interacting non-Lagrangian matter: their matter charges are weights of $E_6$, $E_7$ and $E_8$ instead of Spin(8). The S-duality group PSL(2,Z) acts on these weights: what replaces Spin(8) triality for the $E_6,E_7,E_8$ root lattices? In this paper we answer the question. The action on the matter charges of (a finite central extension of) PSL(2,Z) factorizes trough the action of the exceptional Shephard--Todd groups $G_4$ and $G_8$ which should be seen as complex analogs of the usual triality group $\mathfrak{S}_3\simeq \mathrm{Weyl}(A_2)$. Our analysis is based on the identification of S-duality for SU(2) gauge SCFTs with the group of automorphisms of the cluster category of weighted projective lines of tubular type.

研究の動機と目的

• $E_6^{(1,1)}$、$E_7^{(1,1)}$、$E_8^{(1,1)}$ 全体対称性を有する $\mathcal{N}=2$ 超共形場理論における S 対称性のホモロジー的アプローチを開発すること。
• matter 電荷格子 $\Gamma_{\text{matter}}$ を反射群の作用の下での根格子 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ の商として同定すること。
• 異なる複素乗法体（$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}(\omega)$、$\mathbb{Q}(i)$）における S 対称性作用の統一を、ノード順序が異なる共通の $A_2$ 型 Dynkin 図形構造を通じて行うこと。
• S 対称性群を $PSL(2,\mathbb{Z})$ の中心拡大の商として実現し、モジュラー群の表現と物理的双対性対称性を結びつけること。
• 全電荷格子上で S 対称性を明示的な行列表現として与え、Dirac 対称性ペアリングと Cartan 形式を保存すること。

提案手法

• 有限部分群 $SU(2)$ を affine Dynkin 図形 $E_6^{(1)}$、$E_7^{(1)}$、$E_8^{(1)}$ に結びつける McKay 対応を用い、matter 表現構造と関連付ける。
• 根格子 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ に対する Tits 形式 $q$ の核を介して、matter 電荷格子 $\Gamma_{\text{matter}}$ を商として構成し、$\Gamma_{\text{matter}} \cong \Gamma_{\mathfrak{g}}$ を $E^{-1}$ によって誘導される等長写像で実現する。
• 導来カテゴリにおける生成層間の Euler 形式を記述する上三角ユニポテンツ行列 $E$ を用い、$\boldsymbol{\Phi} = -E(E^t)^{-1}$ を Coxeter 元として表現する。
• 全電荷格子 $\Gamma$ 上に作用する整数 $(r(\mathfrak{g})+2) \times (r(\mathfrak{g})+2)$ 行列として S 対称性作用を実現し、Cartan 行列と Dirac 対称性ペアリングを保存する。
• 反射群 $G_{\text{matter}}$ を Shephard-Todd 群 $\mathfrak{S}_3$、$G_4$、$G_8$ 及びそれらの積として同定し、$\Gamma_{\mathfrak{g}} \otimes \mathbb{C}$ 上に不変表現 $W$、$R$、$F$、$\chi$ を通じて作用させる。
• 標準的 mod 2 準同型 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ltimes SL(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \to PSL(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ を用い、$W$ 表現を $p=4$ の場合に持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $E_6^{(1,1)}$、$E_7^{(1,1)}$、$E_8^{(1,1)}$ 全体対称性を有する $\mathcal{N}=2$ SCFT において、S 対称性は matter 電荷にどのように作用するか？
• RQ2 複素乗法体（$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}(\omega)$、$\mathbb{Q}(i)$）の異なる体上で、S 対称性群を実現する $G_4$、$G_8$、$\mathfrak{S}_3$ の役割は何か？
• RQ3 matter 電荷格子 $\Gamma_{\text{matter}}$ の構造は、根格子 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ および Tits 形式 $q$ とどのように関係しているか？
• RQ4 導来カテゴリおよび Euler 形式によるホモロジー的枠組みは、S 対称性変換をどのように符号化するか？
• RQ5 $p=3,4,6$ における matter 群の不変表現は、複素化された根空間 $\Gamma_{\mathfrak{g}} \otimes \mathbb{C}$ をどのように分解するか？

主な発見

• $p=3$ の場合、複素化された根空間 $\Gamma_{E_6} \otimes \mathbb{C}$ は $\boldsymbol{1} \oplus \boldsymbol{1} \oplus R \oplus \overline{R}$ に分解され、ここで $R$ は $G_4$ の2次元不変表現である。
• $p=4$ の場合、$\Gamma_{E_7} \otimes \mathbb{C} \simeq \boldsymbol{1} \oplus W \oplus F \oplus \overline{F}$ であり、$F$ は $G_8$ の定義表現（2次元）である。
• $p=6$ の場合、$\Gamma_{E_8} \otimes \mathbb{C} \simeq \chi \oplus \overline{\chi} \oplus (W,\boldsymbol{1}) \oplus (\boldsymbol{1},R) \oplus (\boldsymbol{1},\overline{R})$ であり、$\chi$ は $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の1次元原始的特徴である。
• S 対称性作用は、Cartan 行列、Dirac 電磁ペアリング、および電荷格子 $\Gamma$ の整数構造をすべて保存する。
• matter 電荷格子 $\Gamma_{\text{matter}}$ は、ユニポテンツ行列 $E$ の逆行列を介して根格子 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ に等長写像として同定され、$\boldsymbol{x} = E^{-1}\boldsymbol{y}$ の下で $\overline{q}(\boldsymbol{x}) = q_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{y})$ が成り立つ。
• 反射群 $G_{\text{matter}}$ は、$PSL(2,\mathbb{Z})$ の中心拡大の商として実現され、$G_8 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ltimes SL(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ であり、$W$ 表現は mod 2 準同型を介して $PSL(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ に持ち上げられる。