[論文レビュー] Holographic $T\bar{T}$ deformed entanglement entropy in dS$_3$/CFT$_2$

Deyou Chen, Xin Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2023

Black Holes and Theoretical PhysicsPhysics and Astronomy被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元球面上の反対点間の量子もつれエントロピーを、$T\bar{T}$-変形された2次元CFTにおいてレプリカ法を用いて計算することで、ホログラフィックな $T\bar{T}$-変形 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 対応を提案する。その結果、バルクの $\text{dS}_3$ 内の複素ジオデシック長さと正確に一致し、実部が空間的ジオデシックに対応し、虚部が時間的ジオデシックに対応する。これは、非ユニタリなde Sitterホログラフィーにおける擬似エントロピーの正確な双対性を確認するものである。

ABSTRACT

In this paper, based on the $T\bar{T}$ deformed version of $ ext{dS}_3/ ext{CFT}_2$ correspondence, we calculate the pseudoentropy for an entangling surface consisting of two antipodal points on a sphere and find it is exactly dual to the complex geodesic in the bulk.

研究の動機と目的

• de Sitter空間における量子重力の有限時間スライス記述を可能にするために、$\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 対応に $T\bar{T}$ 変形を拡張すること。
• 有限体積の空間スライス上での $T\bar{T}$-変形2次元CFTにおける2点のエンタングルメント表面のもつれエントロピーを計算すること。
• 得られた擬似エントロピーが、de Sitter時空における Ryu-Takayanagi 公式によって予測される $\text{dS}_3$ バルク内での複素ジオデシック長さと一致するかどうかを検証すること。
• 有限時間スライス幾何学と $T\bar{T}$-変形CFTの間のホログラフィック双対性を確立し、$\text{AdS}/T\bar{T}$-CFT 対応を de Sitter 空間に一般化すること。

提案手法

• 変形パラメータ $\lambda \sim \mathcal{O}(1/c)$ として、フロー方程式 $\partial_\lambda \log Z = -2\pi \int_{\Sigma} d^2x \sqrt{\gamma} \langle T\bar{T} \rangle_\lambda$ を用いて $T\bar{T}$ 変形を摂動的に実装する。
• 2次元球面上の $T\bar{T}$-変形QFTの分配関数は、Wheeler-DeWitt方程式と $T\bar{T}$ フローを用いて計算され、実部と虚部を有する複素対数分配関数が得られる。
• レプリカ法を用い、計量 $ds^2 = r^2(d\theta^2 + n^2 \sin^2\theta \, d\phi^2)$ の $n$ 枚のシートを持つ被覆空間上で擬似エントロピー $S_A = (1 - n\partial_n)\log Z_n \big|_{n=1}$ を計算する。
• $\log Z_n$ の $n$ に関する変動は、$n\partial_n \log Z_n = -\frac{1}{2} \int d^2x \sqrt{\gamma} \, T_a^a = \frac{r}{2} \frac{d}{dr} \log Z_{\text{QFT}}$ を通じてスカラー曲率テンソルのトレースと関係づけられる。
• de Sitter空間の $\text{dS}_3$ における反対点間のジオデシック距離は、計量 $ds^2 = -\cosh^2 t \, dt^2 + \ell_{\text{dS}}^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)$ を用いて計算され、$D = \ell_{\text{dS}} \pi - 2i \ell_{\text{dS}} t$ を得る。
• Ryu-Takayanagi 公式 $S_A = D / (4G_N)$ を適用し、$G_N \sim 1/c_{\text{dS}}$ としてニュートン定数を特定することで、場の理論の結果と一致する。

Figure 1: The $T\bar{T}$ -deformed version of the $\text{dS}_{3}$ / $\text{CFT}_{2}$ correspondence, with the Lorentzian time $t$ in the global coordinates of the $\text{dS}_{3}$ spacetime.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $T\bar{T}$-変形された $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 対応は、2点エンタングルメント表面に対して正しいもつれエントロピーを再現するか？
• RQ2 非ユニタリな $T\bar{T}$-変形CFTにおける擬似エントロピーは、$\text{dS}_3$ 内の複素ジオデシックとホログラフィー的に一致するか？
• RQ3 もつれエントロピーの実部は空間的ジオデシックの長さに比例し、虚部は時間的ジオデシックに対応するか？これは Ryu-Takayanagi の規定に従うか？
• RQ4 $T\bar{T}$ 変形は、特に有限時間スライス領域において、de Sitter空間内のホログラフィックもつれエントロピーにどのように影響を与えるか？

主な発見

• $T\bar{T}$-変形CFTにおける $\mathbb{S}^2$ 上の反対点間の擬似エントロピーは $S_A = \frac{c_{\text{dS}}}{6}\pi - i\frac{c_{\text{dS}}}{3}t$ であり、実部が空間的ジオデシックに対応し、虚部が時間的ジオデシックに対応する。
• 等時刻の反対点間のバルクジオデシック距離は $D = \ell_{\text{dS}} \pi - 2i \ell_{\text{dS}} t$ であり、$S_A = D / (4G_N)$ を用いることで場の理論の結果と一致する。
• $G_N \sim 1/c_{\text{dS}}$ の特定により $S_A = \frac{c_{\text{dS}}}{6}\pi - i\frac{c_{\text{dS}}}{3}t$ が得られ、場の理論の擬似エントロピーと複素ジオデシック長さの双対性が確認される。
• $T\bar{T}$ 変形は分配関数に虚数的シフトを導入し、これがもつれエントロピーの複素構造を生じさせ、de Sitter空間内の非ユニタリCFTと整合的である。
• 結果は、$T\bar{T}$-変形された $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 対応が、時間の方向が径方向として現れるカウチスライスホログラフィーと整合的であることを確認する。
• 1本の空間的ジオデシックと2本の時間的ジオデシックから成る複素ジオデシック構造は、Ryu-Takayanagi 公式における極小表面と一致し、de Sitter空間におけるホログラフィックもつれエントロピーの妥当性を検証する。