[論文レビュー] Holomorphic curves into algebraic varieties intersecting moving hypersurface targets

Gerd Dethloff, Van Tan Tran|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Meromorphic and Entire FunctionsMathematics参考文献 24被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、可換射영多様体における代数的に非退化な正則曲線が動く超曲面標的と交差する場合の第二主要定理を確立し、Ruの固定標的結果を拡張している。著者らは、多様体の座標環に新たなフィルトレーションを導入し、ヒルベルト系列の漸近的挙動を分析することで、一般の多様体では正則列が成立しないという問題を克服し、計数関数が誤差項 o(T_f(r)) を伴う鋭い不等式を満たすことを証明した。

ABSTRACT

27 pages. arXiv: 1503.08801v2. We correct an error in the proof: The second part of equation (2.12) in the the first version of this paper does not hold in general.

研究の動機と目的

• 固定超曲面に対するMin Ruの第二主要定理を、射影多様体における動く超曲面標的への一般化すること。
• 一般の多様体では正則列の性質が成立しないため、従来の正則列からの線形同型に依存する手法が破綻する問題を克服すること。
• 正則列が存在しない状況下でも次元の制御を保つことができる、多様体の斉次座標環に対する新しいフィルトレーション技術を開発すること。
• 理想が主イデアルでない場合でも、インertieイデアルの元を用いて、動く超曲面が一般位置にない領域を制御すること。
• 任意の射影多様体に対して、完全性やCohen-Macaulay性の仮定を課さずに、誤差項 o(T_f(r)) を伴う鋭い計数関数不等式を確立すること。

提案手法

• 射影多様体 V の斉次座標環に、動く超曲面の定義多項式を用いたフィルトレーションを構成する。
• フィルトレーションのヒルベルト系列の漸近的挙動を分析し、因子ベクトル空間の次元の和を計算する。この際、組合せ論的技法を活用する。
• フィルトレーションのほとんどすべての因子ベクトル空間が同じ次元を持つことを証明し、これにより精密な漸近的推定が可能になることを示す。
• 一般化された特殊化法を用いて、有理型係数の一般点における評価においてもベクトル空間次元が安定することを示す。
• インテリアイデアルの要素を導入し、理想が主イデアルでない場合でも、非一般位置領域を制御する。
• Evertse-Ferrettiの推定を用いたムムフォードの恒等式の一般化を適用し、ノルムの対数比に関する最大関数推定と組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影多様体における正則曲線の第二主要定理は、固定超曲面から動く超曲面標的へと拡張可能か？
• RQ2 正則列の性質が成立しない状況下でも、座標環のフィルトレーションにおける次元制御をどのように維持できるか？
• RQ3 動く超曲面が一般位置にない非横断的領域を適切に取り扱うにはどうすればよいか？
• RQ4 多様体が完全交差であることを仮定しない限り、計数関数不等式の誤差項を o(T_f(r)) にまで小さくできるか？
• RQ5 Evertse-FerrettiとRuの手法を、ヒルベルト関数に関する代数的・漸近的技法のみを用いて動く標的へと一般化することは可能か？

主な発見

• 著者らは、代数的に非退化な正則曲線 f: ℂ → ℙ^M が動く超曲面 Q_j と交差する場合の第二主要定理を証明し、計数関数が任意の ε > 0 に対して ∑_{j=1}^q N_f(r, Q_j) ≥ d(q−n−1−ε)T_f(r) + o(T_f(r)) を満たすことを示した。
• 正則列の性質に依存しない手法を採用することで、ヒルベルト系列の漸近的挙動とフィルトレーションにおける組合せ論的次元制御により、問題を克服した。
• フィルトレーションの因子ベクトル空間の次元がほとんど一定であることが示され、Cohen-Macaulay性を仮定しない多様体に対しても精密な漸近的推定が可能であることが分かった。
• 動く超曲面が一般位置にない領域は、インテリアイデアルの1つの元を用いて制御され、誤差項の解析に十分であることが示された。
• 誤差項が o(T_f(r)) であることが証明され、与えられた仮定のもとで不等式の鋭さが確認された。
• 結果として、Ruの固定標的第二主要定理と、Dethloff-Tanの ℙ^n における動く標的結果が、完全交差性を仮定しない任意の射影多様体へと一般化された。