[論文レビュー] Hom-bialgebras and comodule Hom-algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、古典的bialgebrasおよびcomodule algebrasのHom型類似物として、Hom-bialgebrasおよびcomodule Hom-algebrasを導入する。2×2行列を表す普遍的Hom-bialgebra $\mathbf{M}(2)$ を構成し、生成子上で定義されたコアクションを通じて、Hom-アフィン平面 $\mathbf{A}_2$ が非自明な $\mathbf{M}(2)$-comodule Hom-algebraであることを示す。

ABSTRACT

We study Hom-bialgebras and objects admitting coactions by Hom-bialgebras. In particular, we construct a Hom-bialgebra M representing the functor of 2x2-matrices on Hom-associative algebras. Then we construct a Hom-algebra analogue of the affine plane and show that it is a comodule Hom-algebra over M in a suitable sense. It is also shown that the enveloping Hom-associative algebra of a Hom-Lie algebra is naturally a Hom-bialgebra.

研究の動機と目的

• 古典的bialgebrasのHom型一般化として、Hom-bialgebrasの理論を構築すること。
• 乗法的Hom-結合的代数上の2×2行列の関手を表す普遍的Hom-bialgebra $\u005cmathbf{M}(2)$ を構成すること。
• Hom-bialgebras上でのcomodule Hom-algebrasの定義と研究を行い、古典的comodule algebrasの一般化を行うこと。
• Hom-アフィン平面 $\u005cmathbf{A}_2$ が非自明な $\u005cmathbf{M}(2)$-comodule構造をもつことの証明。
• Hom-Lie代数の包絡Hom-結合的代数が自然にHom-bialgebra構造をもつことの確立。

提案手法

• モジュールから乗法的Hom-結合的代数への自由関手を用い、$\alpha$-捩じれ関係を満たす生成子 $a,b,c,d$ の自由代数として $\u005cmathbf{M}(2)$ を構成する。
• 普遍性を用いて、行列乗法を表すコマルチプライケーション $\Delta$ を $\u005cmathbf{M}(2)$ に定義する。
• $\alpha$-捩じれコアソシエーションを満たすコマルチプライケーション $\Delta$ を $\u005cmathbf{M}(2)$ に与え、これによりHom-bialgebraを構成する。
• 生成子 $x,y$ の自由な乗法的Hom-結合的代数として、Hom-アフィン平面 $\u005cmathbf{A}_2$ を構成する。
• 生成子上で $\rho(x) = a\otimes x + b\otimes y$, $\rho(y) = c\otimes x + d\otimes y$ と定義し、代数的に拡張することで、$\rho: \u005cmathbf{A}_2 \to \u005cmathbf{M}(2) \otimes \u005cmathbf{A}_2$ を定義する。
• テンソル積代数におけるHom結合性を用い、$\u005cmathbf{M}(2)\otimes\u005cmathbf{M}(2)\otimes\u005cmathbf{A}_2 \cong F(\u005ck\langle a',a'',b',b'',c',c'',d',d'',x,y\rangle)$ の同一視により、コモジュール条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的Hom-結合的代数上の2×2行列の関手を表す普遍的Hom-bialgebra $\u005cmathbf{M}(2)$ を構成できるか？
• RQ2 Hom-アフィン平面 $\u005cmathbf{A}_2$ は、非自明なコアクションをもち、$\u005cmathbf{M}(2)$-comodule Hom-algebraとなるか？
• RQ3 Hom-Lie代数の包絡Hom-結合的代数は自然にHom-bialgebra構造をもつか？
• RQ4 古典的comodule algebraの概念をHom代数の文脈に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ5 $\alpha$-捩じれコアソシエーションが、Hom-bialgebrasおよびそのコモジュールを定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• Hom-bialgebra $\u005cmathbf{M}(2)$ は存在し、乗法的Hom-結合的代数 $A$ を $A$ 上の2×2行列代数 $M_2(A)$ に送る関手を表す。自然な双対性 $\mathbf{HA}(\u005cmathbf{M}(2), A) \cong M_2(A)$ が成り立つ。
• $\u005cmathbf{M}(2)$ 上のコマルチプライケーション $\Delta$ は、$M_2(A)$ 内の行列乗法を普遍的に表し、$\alpha$-捩じれコアソシエーション条件を満たす。
• 生成子 $x$ と $y$ の自由な乗法的Hom-結合的代数として構成されたHom-アフィン平面 $\u005cmathbf{A}_2$ は、コアクション $\rho(x) = a\otimes x + b\otimes y$, $\rho(y) = c\otimes x + d\otimes y$ を通じて非自明な $\u005cmathbf{M}(2)$-comodule構造をもつ。
• コアクション $\rho$ は、$(\Delta_M \otimes \alpha_A) \circ \rho = (\alpha_M \otimes \rho) \circ \rho$ を満たすコモジュール条件を満たし、テンソル積代数におけるHom結合性を用いて検証された。
• Hom-Lie代数 $L$ の包絡Hom-結合的代数 $U_{HLie}(L)$ は自然にHom-bialgebra構造をもつ。これは古典的普遍包絡代数の構成を拡張するものである。
• コアクションが生成子上で定義できるように、随伴性 $\mathbf{HA}(\u005cmathbf{A}_2, \u005cmathbf{M}(2)\otimes\u005cmathbf{A}_2) \cong \mathbf{Mod}(\u005ck\langle x,y\rangle, \u005cmathbf{M}(2)\otimes\u005cmathbf{A}_2)$ を用いる。