[論文レビュー] Homotopical inverse diagrams in categories with attributes

Chris Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、属性付き圏（CwA）におけるホモトピー的逆図式を構築し、Π型、同一型、Σ型といった論理的構造が、ベースのCwAから逆圏上の図式CwAへと持ち上がることを示している。適切な条件下で、リーディング型とホモトピー的図式は、これらの構造に関して閉じた部分CwAをなしており、ホモトピー的型理論の図式モデルの一般枠組みを提供する。

ABSTRACT

We define and develop the infrastructure of homotopical inverse diagrams in categories with attributes. Specifically, given a category with attributes $C$ and an ordered homotopical inverse category $I$, we construct the category with attributes $C^I$ of homotopical diagrams of shape $I$ in $C$ and Reedy types over these; and we show how various logical structure ($Π$-types, identity types, and so on) lifts from $C$ to $C^I$. This may be seen as providing a general class of diagram models of type theory. In a companion paper "The homotopy theory of type theories" (arXiv:1610.00037), we apply the present results to construct semi-model structures on categories of contextual categories.

研究の動機と目的

• 属性付き圏を用いたホモトピー的型理論の図式モデルの一般枠組みを構築すること。
• 型理論における論理的コンストラクタが厳密にファンクター的でないという課題に対処するため、逆圏上のリーディング図式を用いること。
• 主要な型理論的構造（Π、Σ、同一型）が、ベースのCwAから逆圏上の図式CwAへと持ち上がることを示すこと。
• この枠組み内での同型的図式（同型を保存するもの）を定義・分析すること。
• 特に関数的拡張性と同型の仮定の下で、図式CwAが論理的構造をどのように継承するかを確立すること。

提案手法

• 逆圏 $ I $ におけるCwA $ C $ の図式の圏 $ C^I $ を、$ I $ におけるリーディング型を用いて定義する。
• 図式構造を扱い、論理的演算の持ち上げを可能にするために、リーディング極限とマッチング対象を構成する。
• リーディング型のインfraストラクチャを用いて、$ C $ から $ C^I $ へ、同一型、Π型、Σ型、およびユニット型を体系的に持ち上げる。
• $ I $ の特徴的な同型を、$ C $ 内の型理論的同型に写す図式としてホモトピー的図式を定義し、そのような図式のなす部分CwA $ C^I_{\text{h}} \subseteq C^I $ を構成する。
• 追加の仮定（例えば、$ I $ のすべての射が同型であること、関数的拡張性）の下で、$ C^I_{\text{h}} $ が論理的構造に関して閉じていることを証明する。
• 関手 $ u: J \to I $ によって誘導される関手 $ C^I \to C^J $ を分析し、それが局所的ファイブレーションまたは局所的同型である条件を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆圏上のリーディング図式は、属性付き圏における型理論の図式モデルを構築するためにどのように利用できるか？
• RQ2 どのような条件下で、Π型や同一型のような論理的構造が、ベースのCwAからその逆圏上の図式CwAへと持ち上がるか？
• RQ3 関数的拡張性の下で、同型的図式の部分CwAが論理的構造に関して閉じているのはいつか？
• RQ4 関手 $ u: J \to I $ によって誘導される図式関手 $ C^I \to C^J $ が局所的ファイブレーションまたは局所的同型であるための条件は何か？
• RQ5 この枠組みは、余滑らかな図式や理解圏へ一般化可能か？その場合、どのような修正が必要か？

主な発見

• 逆圏 $ I $ に対して、CwA $ C $ の図式の圏 $ C^I $ は、$ I $ が逆圏である限り、リーディング型を備えることでCwAをなす。
• C が同一型、Π型、Σ型、またはユニット型を備えている（Π型については関数的拡張性を仮定）ならば、$ C^I $ も同様の構造を継承する。
• 同型を保存する図式からなる部分CwA $ C^I_{\text{h}} $ は、同一型に関して閉じており、追加の仮定の下ではΣ型、ユニット型、およびΠ型に対しても閉じている。
• すべての $ I $ の射が同型であり、$ C $ が関数的拡張性を備えている場合、$ C^I_{\text{h}} $ はΠ型に対しても閉じている。
• 関手 $ u: J \to I $ に対して、適切な条件下で誘導される関手 $ C^I \to C^J $ は局所的ファイブレーションまたは局所的同型である。これは、同伴論文 [KL18] で定義された条件に基づく。
• これらの構成は、文脈的圏における半モデル構造の一般枠組みを提供する。これは、同伴論文 arXiv:1610.00037 で応用されている。