[論文レビュー] Hypergraph Two-Coloring in the Streaming Model

Jaikumar Radhakrishnan, Saswata Shannigrahi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ハイパーエッジが逐次到着する$n$-一様ハイパーグラフの空間効率的なストリーミングアルゴリズムについて、2色塗り分けを研究する。決定的ストリーミングアルゴリズムは、ハイパーエッジ数に応じて$\Omega(q/n)$または$\Omega(\sqrt{1/(n\ln n)}\cdot 2^n)$の空間を必要とするが、確率的アルゴリズムは、$\frac{1}{10}\sqrt{\frac{n}{\ln n}}2^n$個までのハイパーエッジに対して$O(v\log v)$の空間を達成でき、既知の存在的境界と一致する。

ABSTRACT

We consider space-efficient algorithms for two-coloring $n$-uniform hypergraphs $H=(V,E)$ in the streaming model, when the hyperedges arrive one at a time. It is known that any such hypergraph with at most $0.7 \sqrt{\frac{n}{\ln n}} 2^n$ hyperedges has a two-coloring [Radhakrishnan & Srinivasan, RSA, 2000], which can be found deterministically in polynomial time, if allowed full access to the input. 1. Let $s^D(v, q, n)$ be the minimum space used by a deterministic one-pass streaming algorithm that on receiving an $n$-uniform hypergraph $H$ on $v$ vertices and $q$ hyperedges produces a proper two-coloring of $H$. We show that $s^D(n^2, q, n) = Ω(q/n)$ when $q \leq 0.7 \sqrt{\frac{n}{\ln n}} 2^n$, and $s^D(n^2, q, n) = Ω(\sqrt{\frac{1}{n\ln n}} 2^n)$ otherwise. 2. Let $s^R(v, q,n)$ be the minimum space used by a randomized one-pass streaming algorithm that on receiving an $n$-uniform hypergraph $H$ on $v$ vertices and $q$ hyperedges with high probability produces a proper two-coloring of $H$ (or declares failure). We show that $s^R(v, \frac{1}{10}\sqrt{\frac{n}{\ln n}} 2^n, n) = O(v \log v)$ by giving an efficient randomized streaming algorithm. The above results are inspired by the study of the number $q(n)$, the minimum possible number of hyperedges in a $n$-uniform hypergraph that is not two-colorable. It is known that $q(n) = Ω(\sqrt{\frac{n}{\ln n}})$ [Radhakrishnan-Srinivasan] and $ q(n)= O(n^2 2^n)$ [Erdos, 1963]. Our first result shows that no space-efficient deterministic streaming algorithm can match the performance of the offline algorithm of Radhakrishnan and Srinivasan; the second result shows that there is, however, a space-efficient randomized streaming algorithm for the task.

研究の動機と目的

• 1パスのストリーミングアルゴリズムによる$n$-一様ハイパーグラフの2色塗り分けの空間計算量を理解すること。
• 空間制約下で、決定的か確率的ストリーミングアルゴリズムのどちらが効率的に問題を解けるかを特定すること。
• 1パスモデルにおける決定的ストリーミングアルゴリズムの空間使用量に対するタイトな下界を確立すること。
• 2色塗り分けの可能性の存在的閾値に一致する空間効率的な確率的ストリーミングアルゴリズムを設計すること。
• ハイパーグラフ2色塗り分けにおける決定的と確率的ストリーミング計算量のギャップを調査すること。

提案手法

• 構成的$\text{P}\neq\text{NP}$-型問題に適応されたMoser-Tardosアルゴリズムを、ストリーミング設定に応じて変更して利用する。
• 確率的再色分け戦略を採用：単色ハイパーエッジが現れた際に、以前にマークされたハイパーエッジと競合しないように頂点を再ランダム化する。
• Lovász Local Lemma (LLL) 条件を適用してパス数を制限：$O(\log |V|)$の期待パス数で終了を保証する。
• 再色分け中に競合を避けるために、単色ハイパーエッジの最大独立集合（MIS）を実装する。
• パスベースのアプローチを採用：各パスで全ハイパーエッジを処理し、競合する単色ハイパーエッジをマークおよび再色分けする。
• Markovの不等式を用いて失敗確率を制限し、$O(\log |V|)$パスで高確率で成功を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的1パスストリーミングアルゴリズムが$q$個のハイパーエッジを持つ$n$-一様ハイパーグラフを2色塗り分けるために必要な最小空間量は何か？
• RQ2 確率的ストリーミングアルゴリズムは、$\Omega(\sqrt{n/\ln n} \cdot 2^n)$個までのハイパーエッジに対して、サブラインスの空間を達成できるか？
• RQ3 ハイパーグラフ2色塗り分けにおいて、決定的と確率的ストリーミングアルゴリズムの空間計算量の間にギャップはあるか？
• RQ4 Moser-Tardosアルゴリズムは、限られたメモリと1パスアクセスのストリーミングモデルに適応可能か？
• RQ5 確率的ストリーミングアルゴリズムが高確率で有効な2色塗り分けを達成するための最適なパス数は何か？

主な発見

• 決定的ストリーミングアルゴリズムでは、$q \leq 0.7\sqrt{\frac{n}{\ln n}}2^n$ の場合、空間計算量は$\Omega(q/n)$であり、それ以外の場合は$\Omega(\sqrt{1/(n\ln n)}\cdot 2^n)$である。
• 確率的ストリーミングアルゴリズムは、$\frac{1}{10}\sqrt{\frac{n}{\ln n}}2^n$個までのハイパーエッジに対して$O(v\log v)$の空間を達成できる。
• 確率的アルゴリズムは$O(\log |V|)$の期待パス数で終了し、$O(\log |V|)$パスで成功確率が$3/4$以上である。
• 決定的アルゴリズムの下界は$\mathrm{poly}(n)$要因を除いてタイトであり、確率的アルゴリズムとの強い分離を示している。
• Moser-Tardosアルゴリズムはストリーミングモデルに適応可能であり、空間制約下でも期待終了時間を保持する。
• アルゴリズムの性能は、RadhakrishnanとSrinivasan（2000年）が確立した2色塗り分けの存在的閾値と一致し、確率的ストリーミングにおける空間最適性を示している。