[論文レビュー] Identity Types in Algebraic Model Structures and Cubical Sets

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、cofibration- trivial fibration 因数分解を活用することで、代数的モデル構造および立方体集合における恒等型の概念的に明確なファンクター的構成を提示する。恒等型は、極小な lawfs に基づく非逐次的 awfs の構成によって実装可能であり、複雑な整合性結果に依存せず、CCHM 立方体集合モデルにおいて直接的な証明を可能にする。

ABSTRACT

We give a general technique for constructing a functorial choice of very good paths objects, which can be used to implement identity types in models of type theories in direct manner with little reliance on general coherence results. We give a simple proof that applies in algebraic model structures that possess a notion of structured weak equivalence, in a sense that we define here. We then give a more direct proof that applies both to the original BCH cubical set model and more recent variants. We give an explanation how this construction relates to the one used in the CCHM cubical set model of type theory.

研究の動機と目的

• 代数的モデル構造における恒等型の構成について、概念的に明確で直接的な証明を提供すること。
• 非常に良いパス対象のファンクター的選択を用いることで、複雑な整合性定理への依存を排除すること。
• 立方体集合における恒等型の構成に、簡素化された非逐次的 awfs の構成が十分であることを示すこと。
• CCHM 立方体集合モデルとその背後にある代数的モデル構造との関係を明確にすること。
• この構成が、立方体集合モデルのオリジナル版および現代的変種の両方で成立することを示すこと。

提案手法

• 論文は、cofibration- trivial fibration 因数分解を用いて、代数的モデル構造における非常に良いパス対象を構成する。
• より単純な構造に代数的自由である極小な lawfs (C₁, Fᵗ₁) を導入し、逐次的構成を回避する。
• Fᵗ₁ がモノイドとしての構造 μ を持つことにより、パス対象にファイブレーション構造を関手的に割り当てる。
• 代数的自由性を活用して、C₁-コアルゲブラおよび Fᵗ₁-代数構造を、完全な awfs (C, Fᵗ) に持ち上げる。
• この手法は、オリジナルの BCH 立方体集合モデルおよび現代的変種（CCHM を含む）の両方へ適用可能である。
• 恒等型が適切に振る舞い、計算的に意味を持つように保証する関手的因数分解に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の整合性定理に依存せずに、代数的モデル構造において恒等型を構成できるか？
• RQ2 立方体集合における恒等型の構成に、より単純で非逐次的な方法があるか？
• RQ3 CCHM 立方体集合モデルにおける恒等型の構成は、その背後にある代数的モデル構造とどのように関係するか？
• RQ4 極小な lawfs (C₁, Fᵗ₁) を用いて、非常に良いパス対象のファンクター的選択を定義できるか？
• RQ5 Fᵗ₁ に存在するモノイド構造 μ は、恒等型の構成を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 論文は、極小な awfs (C₁, Fᵗ₁) を用いて、逐次的反復を回避する、非常に良いパス対象の直接的でファンクター的な構成を提供する。
• この構成は、オリジナルの BCH 立方体集合モデルおよび最近の変種（CCHM を含む）の両方で有効である。
• CCHM 立方体集合モデルにおける恒等型の構成が、(C, Fᵗ) が (C₁, Fᵗ₁) の下で代数的自由であることから自然に生じることを確立する。
• Fᵗ₁ に存在するモノイド構造 μ があることで、パス対象に trivial fibration 構造を関手的に割り当てられる。
• 証明により、J-計算規則が定義的等価性の意味で成立することが示され、従来の立方体モデルにおける知られた問題が解決される。
• 複雑な整合性マシンリリアムを排除することで、CCHM の構成が簡素化され、より明確な概念的基盤が提供される。