[論文レビュー] Improved Distributed Expander Decomposition and Nearly Optimal Triangle Enumeration

Yi‐Jun Chang, Thatchaphol Saranurak|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、CONGESTモデルにおける拡張子分解のための新規分散アルゴリズムを提示する。低分岐次数エッジ集合を追加で必要とせず、ほぼ最適なラウンド複雑性を達成する。近似的にバランスが取れてかつ低導電率のカットを分散的に近似することで、三角形列挙アルゴリズムを Õ(n¹ᐟ³) ラウンドで実行可能にし、多項対数要因を除いて既知の下界と一致する。

ABSTRACT

An $(ε,ϕ)$-expander decomposition of a graph $G=(V,E)$ is a clustering of the vertices $V=V_{1}\cup\cdots\cup V_{x}$ such that (1) each cluster $V_{i}$ induces subgraph with conductance at least $ϕ$, and (2) the number of inter-cluster edges is at most $ε|E|$. In this paper, we give an improved distributed expander decomposition. Specifically, we construct an $(ε,ϕ)$-expander decomposition with $ϕ=(ε/\log n)^{2^{O(k)}}$ in $O(n^{2/k}\cdot ext{poly}(1/ϕ,\log n))$ rounds for any $ε\in(0,1)$ and positive integer $k$. For example, a $(0.01,1/ ext{poly}\log n)$-expander decomposition can be computed in $O(n^γ)$ rounds, for any arbitrarily small constant $γ>0$. Previously, the algorithm by Chang, Pettie, and Zhang can construct a $(1/6,1/ ext{poly}\log n)$-expander decomposition using $ ilde{O}(n^{1-δ})$ rounds for any $δ>0$, with a caveat that the algorithm is allowed to throw away a set of edges into an extra part which forms a subgraph with arboricity at most $n^δ$. Our algorithm does not have this caveat. By slightly modifying the distributed algorithm for routing on expanders by Ghaffari, Kuhn and Su [PODC'17], we obtain a triangle enumeration algorithm using $ ilde{O}(n^{1/3})$ rounds. This matches the lower bound by Izumi and Le Gall [PODC'17] and Pandurangan, Robinson and Scquizzato [SPAA'18] of $ ildeΩ(n^{1/3})$ which holds even in the CONGESTED CLIQUE model. This provides the first non-trivial example for a distributed problem that has essentially the same complexity (up to a polylogarithmic factor) in both CONGEST and CONGESTED CLIQUE. The key technique in our proof is the first distributed approximation algorithm for finding a low conductance cut that is as balanced as possible. Previous distributed sparse cut algorithms do not have this nearly most balanced guarantee.

研究の動機と目的

• 従来の研究とは異なり、追加の低分岐次数エッジ集合を必要としない、CONGESTモデルにおける分散拡張子分解アルゴリズムの設計。
• 改善された拡張子分解を活用して、三角形列挙のほぼ最適なラウンド複雑性を達成すること。
• 従来のアプローチにおける主要な技術的課題である、近似的にバランスが取れて低導電率のカットを効率的に見つける分散アルゴリズムの開発。
• CONGESTモデルにおける三角形列挙の上界と下界のギャップを埋め、近似的最適性を達成すること。
• CONGESTモデルが、非自明な問題について、より強力な CONGESTED-CLIQUE モデルとほぼ同じ複雑性を達成できることを示すこと。

提案手法

• 近似的にバランスが取れて、可能な限り低導電率のカットを見つけるための新規分散近似アルゴリズムを導入し、従来のスパースカットアルゴリズムとは対照的である。
• パラメータ化された直径しきい値と、高直径部分とスパース部分への動的分解を用いた、再帰的なクラスタリングプロセスを採用する。
• 隣接辺数が小さい頂点を特定するための局所的探索メカニズムを用い、効率的なコンポーネントのマージを可能にする。
• コンポーネントが有界直径を保ち、コンポーネント間のエッジ数が少ないことを保証する分散不変量（記号 ℋ を用いる）を適用する。
• 固有の識別子と局所的調整を用いて、有界半径内でのコンポーネントの反復的マージにより、低直径分解手順を実装する。
• 拡張子分解を、拡張子上で変更されたルーティングアルゴリズムと組み合わせることで、効率的な三角形列挙を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CONGESTモデルにおいて、追加の低分岐次数エッジ集合を必要とせずに、拡張子分解を計算できるか？
• RQ2 CONGESTモデルにおける分散三角形列挙の最適なラウンド複雑性は何か？
• RQ3 分散アルゴリズムは、CONGESTモデルでCONGESTED-CLIQUEモデルとほぼ同じ複雑性を達成できるか？
• RQ4 近似的にバランスが取れて低導電率のカットを効率的に見つける分散アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 三角形列挙の最もタイトな可能なラウンド複雑性は何か？ そして、その複雑性は構成的アルゴリズムによって達成可能か？

主な発見

• $ (\epsilon,\phi) $-拡張子分解が、任意の $ k \geq 1 $ に対して $ O(n^{2/k} \cdot \text{poly}(1/\phi, \log n)) $ ラウンドで達成され、$ \phi = (\epsilon / \log n)^{2^{O(k)}} $ である。
• $ (1/n^{o(1)}, 1/n^{o(1)}) $-拡張子分解が $ O(n^{o(1)}) $ ラウンドで計算可能であり、これは部分多項式要因を除いて最適である。
• $ (0.01, 1/\text{poly} \log n) $-拡張子分解が、任意の $ \gamma > 0 $ に対して $ O(n^{\gamma}) $ ラウンドで計算可能であり、文献で知られている最良の境界と一致する。
• 三角形列挙アルゴリズムは $ \tilde{O}(n^{1/3}) $ ラウンドで実行可能であり、CONGESTED-CLIQUEモデルにおける既知の $ \tilde{\Omega}(n^{1/3}) $ 下界と一致する。
• これは、多項対数要因を除いて、CONGESTモデルでCONGESTED-CLIQUEモデルとほぼ同じ複雑性を達成する非自明な問題として初めての例である。
• 本稿で提案するアルゴリズムは、従来の研究とは異なり、エッジを低分岐次数部分に破棄する必要がなく、より強固で実用的である。