[論文レビュー] Incomplete traction boundary conditions in the Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin indeterminate couple stress model

Angela Madeo, Ionel‐Dumitrel Ghiba+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 64被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin の不確定なミクロ応力モデルにおける引っ張り境界条件の不整合を特定し、是正している。従来の歪み勾配モデルからの還元では、この特定のモデルに対して正しい境界条件が得られないことが示されている。本論文では、幾何的境界条件を含む、初めての完全で一貫性のある引っ張り境界条件のセットを提示している。これは、学術文献における長年の曖昧さを解消するものである。

ABSTRACT

In this paper we consider the Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin linear isotropic indeterminate couple stress model. Our main aim is to show that, up to now, the traction boundary conditions have not been completely stated for this model. As it turns out, and to our own surprise, restricting the well known boundary conditions stemming from the strain gradient models to the particular case of the indeterminate couple stress model, does not reduce to the Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin set of accepted boundary conditions. We present therefore, for the first time, the complete, correct set of traction boundary conditions, the geometric ones being already consistent with our formulation.

研究の動機と目的

• Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin の不確定なミクロ応力モデルにこれまで用いられてきた引っ張り境界条件に生じる不整合を特定し、是正すること。
• 標準的な歪み勾配モデルからの還元が、この特定の不確定なミクロ応力定式化に対して正しい境界条件を生じさせない理由を明確にすること。
• Grioli, Koiter, Mindlin, Toupin が定式化した不確定なミクロ応力モデルに対して、完全で幾何的に一貫性のある引っ張り境界条件のセットを確立すること。
• 境界条件がモデルの変分構造および基礎となる物性仮定と完全に整合することを保証すること。

提案手法

• 不確定なミクロ応力モデルの変分定式化を通じて、正しい引っ張り境界条件を導出すること。
• 歪み勾配モデルから導出された境界条件と、Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin モデルが要請する境界条件を比較し、不整合を明らかにすること。
• モデルに引っ張り条件とともに一貫して含める必要がある幾何的境界条件を同定すること。
• 仮想仕事の原理および関連する弱形式を用いて、必要な境界条件を導出すること。
• モデルの不確定性を保ちながら、物性方程式と整合性を保つ形で境界条件を定式化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ歪み勾配モデルから導出された標準的な引っ張り境界条件が、Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin モデルに正しく還元されないのか？
• RQ2 Grioli, Koiter, Mindlin, Toupin が定式化した不確定なミクロ応力モデルに対して、完全で正しい引っ張り境界条件のセットは何か？
• RQ3 このモデルにおいて、幾何的境界条件を引っ張り条件と一貫して組み込むにはどうすればよいか？
• RQ4 変分構造が、この不確定系における正しい境界条件を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 歪み勾配モデルから導出された標準的な引っ張り境界条件は、Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin の不確定なミクロ応力モデルに正しく還元されない。
• 本論文では、長年の不整合を解消するため、初めて完全で一貫性のある引っ張り境界条件のセットが導出された。
• 幾何的境界条件が本質的であり、この定式化において引っ張り条件とともに一貫して含める必要があることが判明した。
• 導出された境界条件は、不確定なミクロ応力モデルの変分構造および物性仮定と完全に整合している。