[論文レビュー] Inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions

Riku Klén, Матти Вуоринен+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p-ラプラシアンに基づく一般化三角関数および双曲線関数に、古典的な三角不等式および双曲線不等式（ミトルニエヴィッチ＝アダモビッチ型、ラザレヴィッチ型、ハイゲンス型、ウィルカー型、ツァ＝ハイゲンス型）を一般化する。l’Hôpitalの単調性則と関数解析を用いて、主要な関数の厳密な単調性および凸性／凹性の性質を確立し、p=2のとき古典的結果に還元される新しい不等式を証明する。

ABSTRACT

The generalized trigonometric functions occur as an eigenfunction of the Dirichlet problem for the one-dimensional $p-$Laplacian. The generalized hyperbolic functions are defined similarly. Some classical inequalities for trigonometric and hyperbolic functions, such as Mitrinović-Adamović inequality, Lazarević's inequality, Huygens-type inequalities, Wilker-type inequalities, and Cuza-Huygens-type inequalities, are generalized to the case of generalized functions.

研究の動機と目的

• p-ラプラシアンから生じる一般化されたp-バージョンの三角関数および双曲線関数を含む古典的不等式を拡張すること。
• 一般化された正弦、余弦、正接およびそれらの双曲線版の単調性および凸性の性質を確立すること。
• p=2のとき既知の古典的不等式に還元される、一般化された関数に対する鋭い不等式を提供すること。
• ミトルニエヴィッチ＝アダモビッチ型、ラザレヴィッチ型、ハイゲンス型、ウィルカー型、ツァ＝ハイゲンス型の不等式を一般化された設定に拡張すること。
• タケウチが提唱した(p,q)-関数フレームワークへの古典的関数不等式の拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 関数比の単調性を証明するために、中心的な解析的道具としてl’Hôpitalの単調性則（LMR）を用いる。
• 逆積分を用いて一般化された三角関数および双曲線関数を定義する：$\arcsin_p(x) = \int_0^x (1 - t^p)^{-1/p} dt$ であり、$\sin_p$ はその逆関数である。
• 微分恒等式 $\frac{d}{dx}\sin_p(x) = \cos_p(x)$ および $\frac{d}{dx}\tanh_p(x) = 1 - |\tanh_p(x)|^p$ を導出する。
• LMRを $\frac{\tan_p(x)}{x}$、$\frac{\sinh_p(x)}{x}$、$\frac{\tanh_p(x)}{x}$ のような関数比に適用し、厳密な単調性を証明する。
• 対数凹性および対数凸性を、$f_1(t) = \cos_p(x/t)^t$ のような関数について、その対数の導関数を分析することで分析する。
• 対称性および関数的恒等式 $|\sin_p(x)|^p + |\cos_p(x)|^p = 1$ および $= 1$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p > 1 に対して、古典的不等式（ミトルニエヴィッチ＝アダモビッチ型、ラザレヴィッチ型）を一般化された三角関数にどのように拡張できるか。
• RQ2 一般化された関数 $\frac{\sin_p(x)}{x}$、$\frac{\tanh_p(x)}{x}$、$\frac{\sinh_p(x)}{x}$ の単調性および凸性の性質は何か。
• RQ3 ハイゲンス型およびウィルカー型不等式は、鋭い境界を伴ってp-ラプラシアンフレームワークに一般化可能か。
• RQ4 一般化された関数 $\sin_p(x)$、$\cos_p(x)$、$\sinh_p(x)$、$\cosh_p(x)$ は $x \mapsto x/t$ のような変換に対してどのように振る舞うか。
• RQ5 タケウチが提唱した二パラメータの$(p,q)$-関数へのこれらの結果の拡張の可能性は何か。

主な発見

• 関数 $f_2(x) = \frac{\tan_p(x)}{x}$ は $p > 1$ に対して区間 $(0, \pi_p/2)$ で厳密に増加し、$x \in (0,k)$ に対して $1 < \frac{\tan_p(x)}{x} < \frac{\tan_p(k)}{k}$ が成り立つ。
• 関数 $f_1(x) = \frac{\sin_p(x)}{x}$ は区間 $(0, \pi_p/2)$ で厳密に減少し、$x \in (0,k)$ に対して $\frac{\sin_p(x)}{x} < \frac{\sin_p(k)}{k}$ が成り立つ。
• 関数 $f_3(x) = \frac{\sinh_p(x)}{x}$ は区間 $(0, \infty)$ で厳密に増加し、$x \in (0,k)$ に対して $\frac{x}{\text{arcsinh}_p(x)} < \frac{\sinh_p(x)}{x} < \frac{bx}{\text{arcsinh}_p(bx)}$ が成り立つ。ここで $b = \frac{\sinh_p(k)}{k}$ である。
• 関数 $f_4(x) = \frac{\tanh_p(x)}{x}$ は区間 $(0, \infty)$ で厳密に減少し、$x \in (0,k)$ に対して $\frac{x}{\text{arctanh}_p(x)} < \frac{\tanh_p(x)}{x} < \frac{cx}{\text{arctanh}_p(cx)}$ が成り立つ。ここで $c = \frac{\tanh_p(k)}{k}$ である。
• 関数 $f_1(t) = \cos_p(x/t)^t$ は区間 $(2x/\pi_p, \infty)$ で厳密に増加し、対数凹性を示す。$\log f_1(t)$ は $g_1(s) > 0$ のため増加する。
• 関数 $f_4(t) = \cosh_p(x/t)^t$ は区間 $(0, \infty)$ で厳密に減少し、対数凸性を示す。$g_4(s)$ が厳密に減少するため、$\log f_4(t)$ は凸である。