[論文レビュー] Intersecting the dimension filtration with the slice one for (relative) motivic categories

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、(相対的)モチーフ的圏における次元フィルトレーションとスライスフィルトレーションの正確な交叉公式を確立し、次元が高々 $ m $ のモチーフと $ i $-番目のスライスレベルの交叉が、シフトされた次元フィルトレーション $ d_{\leq m-i}DM^{∝eff}_{-,R}(i) $ に等しいことを証明する。この結果は、アユーブの予想が特定の直交性条件と同値であることを示す応用に用いられ、新しい公理的枠組みと修正された次元関数を用いて、一般の基底スキーム上の相対的モチーフ的圏へと一般化される。

ABSTRACT

In this paper we prove that the intersections of the levels of the dimension filtration on Voevodsky's motivic complexes over a field $k$ with the levels of the slice one are "as small as possible", i.e., that $Obj d_{\le m}DM^{eff}_{-,R} \cap Obj DM^{eff}_{-,R} (i)=Obj d_{\le m-i} DM^{eff}_{-,R} (i)$ (for $m,i\ge 0$ and $R$ being any coefficient ring in which the exponential characteristic of $k$ invertible). This statement is applied to prove that a conjecture of J. Ayoub is equivalent to a certain orthogonality assumption. We also establish a vast generalization of our intersection result to relative motivic categories (that are required to fulfil a certain list of "axioms"). In the process we prove several new properties of relative motives and of the so-called Chow weight structures for them.

研究の動機と目的

• 体上のヴォエバドスキーのモチーフ的圏における次元フィルトレーションとスライスフィルトレーションの交叉を計算すること。
• この交叉が最小である、すなわち $ d_{\leq m-i}DM^{\mathrm{eff}}_{-,R}(i) $ に等しいことを証明すること。
• 交叉結果を応用し、アユーブの予想が特定の直交性仮定と同値であることを示すこと。
• 次元フィルトレーションとスライスフィルトレーションの交叉結果を、一般の基底スキーム上の相対的モチーフ的圏へ一般化すること。
• ガブラーの次元関数の新しい修正を定義し、相対的モチーフ的設定におけるチャウ重み構造の新しい性質を確立すること。

提案手法

• モチーフ的圏におけるチャウ重み構造を用いて、次元フィルトレーションとスライスフィルトレーションの交叉に属する対象の下からの有界性を分析する。
• ボンドルコ（2015）のコンパクト生成部分カテゴリと重み構造に関する結果を適用し、交叉に属する対象がヴェルディエ商において右チャウ重み劣化的になることを示す。
• 重み番号付けにホモロジー的慣習を用い、リーマン・モチーフ $ R\langle 1\rangle $ のテンソル作用を活用してフィルトレーションをシフトする。
• 相対的モチーフ的圏に適した、ガブラーの次元関数の新しいバージョンを導入し、チャウ重み構造と整合性を持つようにする。
• 基底スキーム $ B $ 上のモチーフ的複体の圏 $ \mathcal{D}(B) $ に対して重み構造の理論を適用し、チャウ重み構造の存在を保証する公理を満たす場合を想定する。
• $ \delta $-ホモトピー $ t $-構造および主要な補題（例えば、補題 2.3.2）の相対的版を用いて、体から一般の基底スキームへ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元フィルトレーション $ d_{\leq m}DM^{\mathrm{eff}}_{-,R} $ とスライスフィルトレーションの $ i $-番目のレベル $ DM^{\mathrm{eff}}_{-,R}(i) $ の正確な交叉は何か？
• RQ2 アユーブの予想 $ \underline{Hom}_{DM^{\mathrm{eff}}_R}(R\langle 1\rangle, -) $ が $ d_{\leq m}DM^{\mathrm{eff}}_R $ を保存するという主張は、ある特定の直交性条件と同値か？
• RQ3 次元フィルトレーションとスライスフィルトレーションの交叉公式は、一般の基底スキーム上のモチーフ的圏へ一般化可能か？
• RQ4 与えられた公理の下で、相対的モチーフ的圏におけるチャウ重み構造が満たす新しい性質は何か？
• RQ5 ガブラーの次元関数は、相対的モチーフ的フィルトレーションおよび重み構造に適合させるために、どのように修正可能か？

主な発見

• 交叉 $ \operatorname{Obj}d_{\leq m}DM^{\mathrm{eff}}_{-,R} \cap \operatorname{Obj}DM^{\mathrm{eff}}_{-,R}(i) $ は $ \operatorname{Obj}d_{\leq m-i}DM^{\mathrm{eff}}_{-,R}(i) $ に等しく、交叉が最小であることが証明される。
• この交叉結果により、アユーブの予想 4.22 が、商 $ {DM^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm},R}}/d_{\leq m-1}{DM^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm},R}} $ において $ {DM^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm},R}}(1) $ から $ d_{\leq m}{DM^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm},R}} $ への非自明な準同型が存在しないことと同値であることが示される。
• この結果は、基底体の指数的特徴が可逆である任意の係数環 $ R $ に対して成り立つ。
• 交叉公式は、次元が有限でノエター的かつ分離的で優れたスキーム $ B $ 上の相対的モチーフ的圏へ一般化され、チャウ重み構造の存在を含む公理的条件を満たす場合に成立する。
• 本稿では、相対的設定におけるモチーフ的フィルトレーションおよび重み構造と整合性を持つように修正されたガブラーの次元関数の新しいバージョンを定義する。
• 全体の $ \mathcal{D}(B) $ におけるチャウ重み構造は、ボレル＝ムーアモチーフを用いて構成される標準的なチャウ重み構造と一致し、コンパクト対象は常にこの重み構造において下から有界である。