[論文レビュー] On morphisms killing weights, weight complexes, and Eilenberg-Maclane (co)homology of spectra

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、重み構造を備えた三角関手カテゴリにおいて、『重みを消滅させる』準同型の同値な定義を確立し、$\Sigma C = SH$ および球面的重み構造の下で、準同型が重み $m$ から $n$ を殺すための必要十分条件として、すべての $SH[m,n]$ に代表されるコホモロジー関手の下でその消滅が成り立つことを証明する。主な貢献は、$H\mathbb{Z}$-ホモロジーを用いた、重み $m$ から $n$ を持たないスペクトルの特徴付けであり、これにより torsion pair が構成され、安定ホイッチャー定理の逆が得られる。

ABSTRACT

We ask whether a morphism $g$ in a triangulated category $C$ endowed with a weight structure "kills weights" (between an integer $m$ and some $n\ge m$). If $g=id_M$ (where $M\in Obj C$) and $C$ is Karoubian, then $g$ kills weights $m,\dots,n$ whenever there exists a weight decomposition of $M$ that "avoids" these weights (in the sense earlier defined by Wildeshaus). We prove the equivalence of several definitions for killing weights. In particular, we describe a family of cohomological functors that "detects" this notion. We also prove that $M$ is without weights $m,\dots, n$ (i.e., a decomposition of $M$ avoiding these weights exists) if and only if the corresponding condition is fulfilled for its weight complex $t(M)$. These results allow us to get new (stronger) results on the conservativity of the weight complex functor $t$. We study in detail the case $C=SH$ (endowed with the spherical weight structure whose heart consists of coproducts of sphere spectra); the corresponding weight complex functor is just the one calculating the $H\mathbb{Z}$-homology (whose terms are free abelian groups). In this case $g$ kills weights $m,\dots, n$ if and only if $H(g)=0$ for all $H$ represented by elements of $SH[m,n]$ (so, these morphisms form an injective class of morphisms in the sense defined by Christensen; yet this class is not stable with respect to shifts). Moreover, for any spectrum $M$ there exists a "weakly universal decomposition" $P o M o I_0$ for $I_0\in SH[m,n]$ and $P$ being without weights $m,\dots,n$ (so, we obtain a torsion pair). We also prove a certain converse to the stable Hurewicz theorem.

研究の動機と目的

• 重み構造を備えた三角関手カテゴリにおいて、指定された重み $m$ から $n$ を『殺す』準同型を定義し、特徴付けること。
• 重みを殺す準同型の複数の定義の同値性を証明し、特に $SH[m,n]$ に代表される関手によるコホモロジー的検出を含むこと。
• 対象 $M$ が重み $m$ から $n$ を持たないための必要十分条件として、その重み複体 $t(M)$ が同様の条件を満たすことであることを示し、重み複体関手の保存性を強化すること。
• 球面的重み構造を備えた安定ホモトピー圏 $SH$ の場合を分析し、重みを殺すことは $H\mathbb{Z}$-ホモロジーの消滅と同値であることを示すこと。
• 重み $m$ から $n$ を殺す準同型の族が、シフトに関しては閉じていないが、インジェクティブクラスであることを示し、任意のスペクトルに対して弱く普遍的な分解を構成すること。

提案手法

• 特定の切断準同型 $w_{\leq n}M \to w_{\leq m-1}N$ との整合性を通じて、重み $m$ から $n$ を殺す準同型の概念を導入する。
• SH[m,n] に代表されるコホモロジー理論を用いて、準同型に基づく定義とコホモロジー的消滅条件との同値性を証明する。
• 重み複体関手 $t$ を用いて、対象上の重み条件をその重み複体上の条件に翻訳し、その保存性を活用する。
• $P$ が重み $m$ から $n$ を持たず、$I_0 \in SH[m,n]$ であるような弱く普遍的な分解 $P \to M \to I_0$ を構成し、これにより torsion pair を形成する。
• 非カルーブィアン圏における反例を用いて、キーレス（例：分解の存在）がカルーブィアン仮定なしでは成り立たないことを示す。
• $SH$ における球面的重み構造を分析し、$g$ が重み $m$ から $n$ を殺すための必要十分条件として、すべての $SH[m,n]$ に代表される $H$ に対して $H(g) = 0$ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角関手カテゴリに重み構造を備えたとき、準同型 $g$ が重み $m$ から $n$ を殺すのはいつか？
• RQ2 『重みを殺す』という定義の多様な定義は同値であるか？ また、この性質を検出するコホモロジー的関手は何か？
• RQ3 対象 $M$ が重み $m$ から $n$ を持たないための必要十分条件として、その重み複体 $t(M)$ が同様の条件を満たすのはいつか？
• RQ4 重み複体関手は、$SH$ における重み構造の保存性とどのように関係するか？
• RQ5 任意のスペクトル $M$ に対して、核が重み $m$ から $n$ を避ける弱く普遍的な分解を構成できるか？

主な発見

• ${\underline{C}} = SH$ の下で、準同型 $g$ が重み $m$ から $n$ を殺すための必要十分条件は、すべての $SH[m,n]$ に代表されるコホモロジー関手 $H$ に対して $H(g) = 0$ が成り立つことである。
• 対象 $M$ が重み $m$ から $n$ を持たないための必要十分条件は、その重み複体 $t(M)$ が同様にこれらの重みを持たないことである。これにより、$t$ の保存性が強化される。
• 任意のスペクトル $M$ に対して、$P$ が重み $m$ から $n$ を持たず、$I_0 \in SH[m,n]$ であるような弱く普遍的な分解 $P \to M \to I_0$ が存在し、これにより torsion pair が形成される。
• 重み $m$ から $n$ を殺す準同型の族は、クリスティアンの意味でインジェクティブであるが、シフトに関しては閉じていない。
• カルーブィアンでない圏では、重み $m$ から $n$ を持たない対象であっても、これらの重みを避ける分解をもたない場合がある。 すなわち、有界であっても同様の問題が生じる。
• 本論文は、$SH$ における重み殺しの特徴付けを $H\mathbb{Z}$-ホモロジーを用いて行い、安定ホイッチャー定理の逆を得る。