[論文レビュー] Intrinsic flat and Gromov-Hausdorff convergence of manifolds with Ricci curvature bounded below

Rostislav Matveev, Jacobus W. Portegies|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リッチ曲率が下から有界で、直径が一様に有界な閉・向き付け可能リーマン多様体の列に対して、内在的フラット収束とグロモフ＝ハウスドルフ収束が、向きの反転を除いて一致することを確立している。主な結果は、極限の整数的カレントが、計量空間によって一意に定まり、重み1、質量測度がハウスドルフ測度に等しいことである。これは、曲率の下界と計量幾何における収束の関係について長年の未解決問題を解消するものである。

ABSTRACT

We show that for a noncollapsing sequence of closed, connected, oriented Riemannian manifolds with Ricci curvature uniformly bounded from below and diameter uniformly bounded above, Gromov-Hausdorff convergence essentially agrees with intrinsic flat convergence.

研究の動機と目的

• リッチ曲率の下界がある条件下で、リーマン多様体における内在的フラット収束とグロモフ＝ハウスドルフ収束の関係を調査すること。
• このような列の内在的フラット極限が、その背後にある計量空間によって一意に定まるかどうかを特定すること。
• ソルマーニ＝ウェンジャーおよびマーンの先行結果を、非負から任意の下界リッチ曲率に拡張すること。
• 極限カレントの重みが1であり、極限空間上の質量測度がハウスドルフ測度に等しいことを示すこと。
• 極限空間上のカレントに対して局所的定数性定理を確立し、局所的n次元ホモロジーがℤに同型であることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、次元n、閉・連結・向き付け可能なリーマン多様体で、リッチ曲率 ≥ −(n−1)Λ、体積 ≥ v > 0、直径 ≤ D を満たすクラス𝒪(n,Λ,v,D) の列を分析する。
• アムブロシオ＝キルヒハイムの意味における整数的カレントを用いた内在的フラット距離と、計量空間のためのグロモフ＝ハウスドルフ距離を用いる。
• 鍵となる技術は、(ε,R)-チャートと体積比較推定を用いて、カレントのスライスの次数をグロモフ＝ハウスドルフ近似と関連付けることである。
• ルベーグ微分定理を適用して、密度比ΔS/ΔTの正確な代表元を定義し、その可測性とほとんど everywhere での定数性を保証する。
• リッチ曲率が下から有界な極限空間の構造についてのチヘイ＝コリング理論を用い、正則集合の正則性と球の連結性を制御する。
• 局所的定数性の証明は、Gromov-Hausdorff近似と適切な写像Φによる共通の逆像の存在を用いて、比ΔS/ΔTが球上で定数であることを示すことで成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率が下から有界で、直径が一様に有界なリーマン多様体の列に対して、内在的フラット収束とグロモフ＝ハウスドルフ収束が一致するか？
• RQ2 グロモフ＝ハウスドルフ極限空間上の極限整数的カレントが、計量構造によって、向きの反転を除いて一意に定まるか？
• RQ3 これらの曲率および体積の下界のもとで、極限カレントの質量測度が極限空間上のハウスドルフ測度に等しいか？
• RQ4 極限カレントの重みが、ハウスドルフ測度に関してほとんど everywhere で1か？
• RQ5 任意の点qの近傍で境界が消える整数的カレントSが、局所的に極限カレントTの定数倍と一致するか？

主な発見

• 内在的フラット閉包を向きの反転で割った商空間からグロモフ＝ハウスドルフ閉包への写像は、well-definedなホメオモルフィズムであり、与えられた曲率および体積の下界のもとで、2つの収束タイプが本質的に同等であることを示している。
• 極限カレントTの正の下位密度の集合は、全体の極限空間Xに等しく、TがX上に完全に台を持つことを意味する。
• 極限カレントTの質量測度‖T‖は、X上のn次元ハウスドルフ測度ℋⁿと一致する。
• Tの重みは、X上でℋⁿ-ほとんど everywhere で1に等しく、カレントが単純で、重複層構造をとらないことを示している。
• 任意の点qと、qの近傍で境界が消える整数的カレントSに対して、Sはその球上でTの定数倍に一致する。これはカレント構造の局所的定数性を確認するものである。
• 極限カレントは、計量空間によって、向きの反転を除いて一意に定まり、追加の幾何的・測度論的データは不要である。