[論文レビュー] Invertible and nilpotent matrices over antirings

David Dolžan, Polona Oblak|ArXiv.org|Jun 18, 2008

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は可換なアンチリング上での逆行列可能でかつ冪零行列の特性を述べており、任意の冪零 $ n \times n $ 行列が $ \lceil \log_2 n \rceil $ 個の平方零行列の和として表現可能であることを証明している。また、任意のトレースがゼロの行列を表現するために必要な最小の平方零行列の数を特定し、行列の有向グラフにおける組合せ的グラフ彩色に基づいて正確な境界を得ている。

ABSTRACT

In this paper we characterize invertible matrices over an arbitrary commutative antiring S and find the structure of GL_n (S). We find the number of nilpotent matrices over an entire commutative finite antiring. We prove that every nilpotent $n imes n$ matrix over an entire antiring can be written as a sum of $\lceil \log_2 n ceil$ square-zero matrices and also find the necessary number of square-zero summands for an arbitrary trace-zero matrix to be expressible as their sum.

研究の動機と目的

• 可換なアンチリングに単位元を備えた任意の可換アンチリングへのタンの逆行列可能行列の特性の一般化。
• 有限で可換かつ整域であるアンチリング上での冪零行列の正確な個数の特定。
• 任意の冪零またはトレースがゼロの行列を表現するために必要な最小の平方零行列の数を、アンチリング上で確立すること。
• 可換アンチリング $ S $ 上での一般線型群 $ GL_n(S) $ の構造の特定。

提案手法

• アンチリングにおける 1 の直交分解を用いて、逆行列可能行列をスケーリングされた置換行列の和に分解する。
• 行列の有向グラフにグラフ彩色技術を適用し、$ \chi(\Gamma) $ を定義する。ここで $ \chi(\Gamma) $ は、同じ色の辺が出点と入点の両方を持つ頂点が存在しないような最小の色数である。
• ハーナーとエントリンガー（1972年）およびツォネク（2015年）の推移的トーナメントおよび完全有向グラフの弧彩色に関する結果を活用し、平方零和項の数の上限を導出する。
• 整数 $ N(n) $ を、$ n \leq \binom{N(n)}{\lceil N(n)/2 \rceil} $ を満たす最小の整数として定義し、トレースがゼロの行列を表現するための最小の平方零行列数を求める。
• 恒等式 $ D(A) = D(A_1) \uplus \cdots \uplus D(A_k) $ を用いて、行列の和の有向グラフとその和項の有向グラフの和集合との関係を示す。
• $ GL_n(S) \simeq U(S)^n \rtimes (S_n)^k $ を証明する。ここで $ k $ は $ S $ 内の 1 の直交分解の最大長である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換アンチリング $ S $ 上での一般線型群 $ GL_n(S) $ の構造は何か？
• RQ2 有限で可換かつ整域であるアンチリング上での $ n \times n $ 冪零行列はいくつ存在するか？
• RQ3 任意の $ n \times n $ 冪零行列を表現するために必要な最小の平方零行列の数は何か？
• RQ4 非ゼロの冪零元を持たないアンチリング上での任意のトレースがゼロの $ n \times n $ 行列を表現するために必要な最小の平方零行列の数は何か？

主な発見

• 任意の整域であるアンチリング上での $ n \times n $ 冪零行列は、正確に $ \lceil \log_2 n \rceil $ 個の平方零行列の和として表現可能であり、この境界はタイトである。
• 任意の $ n $ に対して、$ \lceil \log_2 n \rceil $ 個未満の平方零行列では表現できない冪零行列が存在する。
• 有限で可換かつ整域であるアンチリング上での $ n \times n $ 冪零行列の個数は、上三角行列の非ゼロ成分を持つ厳密上三角行列の個数に等しい。
• 非ゼロの冪零元を持たないアンチリング上での任意のトレースがゼロの $ n \times n $ 行列は、$ N(n) $ 個以下の平方零行列の和として表現可能であり、ここで $ N(n) $ は $ n \leq \binom{N(n)}{\lceil N(n)/2 \rceil} $ を満たす最小の整数である。
• 少なくとも $ N(n) $ 個の平方零行列でなければ表現できないトレースがゼロの行列が存在し、この境界が鋭いかどうかを示している。
• 可換アンチリング $ S $ 上での $ n \times n $ 行列の逆行列可能群 $ GL_n(S) $ は、$ U(S)^n \rtimes (S_n)^k $ に同型であり、ここで $ k $ は $ S $ 内の 1 の直交分解の最大長である。