[論文レビュー] Iterated icons

Eugenia Cheng, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、対称モノイダル2-圏における2-セルとしての拡張アイコンを用いて、弱く豊饗された圏の反復的構成を導入する。Catに2回適用すると、部分的に厳密な3-圏の対称モノイダル2-圏が得られ、二重に退化した対象に制限することで2-二重モノイダル圏の2-圏が回復され、高次圏の周期表が完成する。

ABSTRACT

We study the totality of weakly enriched in a monoidal bicategory using a notion of enriched icon as 2-cells. We show that when the monoidal bicategory in question is symmetric then this process can be iterated. We show that starting from the symmetric monoidal bicategory Cat and performing the construction twice yields a convenient symmetric monoidal bicategory of partially strict tricategories. We show that restricting to the doubly degenerate ones immediately gives the correct bicategory of 2-tuply monoidal categories missing from our earlier studies of the Periodic Table. We propose a generalisation to all k-tuply monoidal n-categories.

研究の動機と目的

• 対称モノイダル2-圏における反復的豊饗の体系的技法を、拡張アイコンを2-セルとして用いることで開発すること。
• 高次圏の周期表に関する先行研究において欠落していた2-二重モノイダル圏の2-圏を解消すること。
• Catを出発点として2段階の豊饗を用いて、部分的に厳密な3-圏の対称モノイダル2-圏を構成すること。
• 任意のkおよびnについて、k-二重モノイダルn-圏への構成を一般化すること。

提案手法

• モノイダル2-圏上の弱い豊饗において、拡張アイコンを2-セルとして用いて高次元のカテゴリカル構造を定義すること。
• 対称モノイダル2-圏の対称性を活用して、反復的豊饗の整合性を保つように、豊饗プロセスを反復的に適用すること。
• 豊饗の出発点として、対称モノイダル2-圏Catを焦点にすること。
• 得られた構造における二重に退化した対象に制限することで、2-二重モノイダル圏の2-圏を抽出すること。
• 反復的豊饗プロセスを拡張することで、k-二重モノイダルn-圏への構成を一般化すること。
• 対称モノイダル2-圏の整合性定理を用いて、得られる構造のwell-defined性および結合性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張アイコンは、対称モノイダル2-圏における反復的構成によって、どのように高次元のカテゴリカル構造を構築できるか？
• RQ2 対称モノイダル2-圏Catに豊饗プロセスを2回適用すると、どのような構造が得られるか？
• RQ3 なぜ2-二重モノイダル圏の2-圏は、高次圏の周期表の先行的定式化において欠落していたのか、そしてどのように回復できるか？
• RQ4 反復的豊饗がwell-definedな対称モノイダル2-圏を生成するための条件は何か？
• RQ5 この構成は、どのようにしてk-二重モノイダルn-圏へ一般化できるか？

主な発見

• 対称モノイダル2-圏において、拡張アイコンを用いた反復的豊饗をCatに2回適用すると、well-definedな部分的に厳密な3-圏の対称モノイダル2-圏が得られる。
• 二重に豊饗された構造を二重に退化した対象に制限することで、正しい2-二重モノイダル圏の2-圏が得られ、以前の研究における欠落を解消する。
• この構成は、反復的豊饗が整合的かつ適切に振る舞うために、モノイダル2-圏の対称性が本質的であることを示している。
• 得られる部分的に厳密な3-圏の対称モノイダル2-圏は、高次圏の整合性および整合性定理を研究する自然な枠組みを提供する。
• この手法はk-二重モノイダルn-圏へ一般化可能であり、反復的豊饗を用いた体系的アプローチを提供する。