[論文レビュー] $G_2$ Manifolds, Mirror Symmetry and Geometric Engineering

Mina Aganagic, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Oct 18, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、タイプIIA超弦理論におけるD6-braneがカルビ・ヤウ幾何に包摂された状況で、$τ=1$ supersymmetric $A_r$ クイバー理論を幾何学的エンジニアリングにより構成し、トポロジカル弦理論とチェーン・シンコス理論の間の大型$N$双対性を示した。この構成をM理論に拡張し、branes やフラックスを用いずに、量子幾何学的遷移によって滑らかな$G_2$ホロノミー多様体を導出し、コンpactified 円周上のT双対性と線形スカラー・モデルを用いて$G_2$多様体の鏡像対称性を導出した。

ABSTRACT

We construct Calabi-Yau geometries with wrapped D6 branes which realize ${\cal N}=1$ supersymmetric $A_r$ quiver theories, and study the corresponding geometric transitions. This also yields new large $N$ dualities for topological strings generalizing topological strings/large $N$ Chern-Simons duality. Lifting up to M-theory yields smooth quantum geometric transitions without branes or fluxes, in the context of $G_2$ holonomy manifolds. In addition we construct a linear sigma model realization which is relevant for the worldsheet theory of superstrings propagating in local manifolds with $G_2$ holonomy, and obtain mirror geometries for this class of supersymmetric sigma models.

研究の動機と目的

• タイプIIA超弦理論におけるカルビ・ヤウ3次元多様体内のサイクルに包摂されたD6-braneを用いて、$τ=1$ supersymmetric $A_r$ クイバーゲージ理論を構築すること。
• 幾何学的遷移を用いて、トポロジカル弦理論／大型$N$チェーン・シンコス双対性をより複雑な幾何に一般化すること。
• タイプIIAの設定をM理論にアップラップし、branes やフラックスを含まない滑らかな量子幾何学的遷移を有する$G_2$ホロノミー多様体を得ること。
• 局所的$G_2$ホロノミー多様体上を伝播するスーパーストリングの線形スカラー・モデルの実現を構築すること。
• T双対性およびスカラー場と複素構造モジュライの双対化を用いて、このクラスの$G_2$多様体の鏡像幾何を導出すること。

提案手法

• コンパクト化幾何のヘイジスブランチ記述を、4つのキラル場と複素化されたFIパラメータ$s$でパrameter化されたD項条件を持つ$U(1)$ゲージ理論として用いる。
• D項条件を変形することで幾何学的遷移を適用し、解体されたコンパクト化多様体$τ_K$と変形されたコンパクト化多様体$τ_C$を関連づけ、遷移は$1 - e^{-s} = e^{-Y/N}$で支配される。
• キラル場$X_i$とゲージ群に対して対数的電荷を持つ実周期的スカラー$φ$を有する$τ=2$ $U(1)^N$ゲージ理論を変形することで、$G_2$ホロノミー多様体の線形スカラー・モデルを構築する。
• M理論背景の円周コンパクト化にT双対性を適用し、スカラー$φ$をゲージ場に、さらに双対スカラー$θ$に双対化することで、複素構造モジュライがずれた鏡像幾何が得られる。
• 鏡像幾何を$xz = F(u,v,t_i + iN_i\theta)$として導出し、ここで$t_i$は複素化されたカーラー・パラメータで、$θ$は$S^1$上の双対スカラーである。これにより、フラックスなしで完全に幾何学的な記述を持つ$G_2$鏡像が得られる。
• 双対スカラー$θ$をゆっくり変化するとみなすアディアバティック原理を用い、元のモデルの$τ=1$ supersymmetryを保つ双対$G_2$幾何の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D6-braneとカルビ・ヤウ幾何を用いて、タイプIIA超弦理論における$τ=1$ $A_r$クイバーゲージ理論をどのように幾何学的にエンジニアリングできるか？
• RQ2 解体されたコンパクト化多様体上のトポロジカル弦理論と$S^3$上のチェーン・シンコス理論の間の大型$N$双対性は何か？ そして、より複雑な幾何にどのように一般化できるか？
• RQ3 M理論における量子幾何学的遷移は、branes やフラックスを含まずに滑らかな$G_2$ホロノミー多様体をどのように得るか？
• RQ4 局所的$G_2$ホロノミー多様体上を伝播するスーパーストリングの線形スカラー・モデルはどのように実現されるか？
• RQ5 $G_2$多様体の鏡像対称性はどのように定式化できるか？ そして、複素構造とモジュライに関して、得られる双対幾何はどのような形か？

主な発見

• 解体されたコンパクト化多様体$τ_K$と変形されたコンパクト化多様体$τ_C$の間の幾何学的遷移は、関係式$1 - e^{-s} = e^{-Y/N}$によって支配され、有限$N$におけるD6-braneとフラックス付き幾何の間を滑らかに接続する。
• 大型$N$極限において、$τ_K$内の$π^1$が有限サイズに成長し、遷移はM理論における滑らかな量子幾何学的遷移となり、滑らかな$G_2$ホロノミー多様体を生成する。
• キラル場$X_i$と周期的スカラー$φ$を有する$τ=2$ $U(1)^N$ゲージ理論を変形することで$G_2$ホロノミー多様体の線形スカラー・モデルを構築し、$τ=2$から$τ=1$にスピンを破壊するが、IR固定点の共形不変性を損なわない。
• $G_2$多様体の鏡像対称性は、円周コンパクト化とキラル場の位相の双対化を適用することで達成され、鏡像幾何は$xz = F(u,v,t_i + iN_i\theta)$で定義され、ここで$θ$は$S^1$上の双対スカラーである。
• 鏡像構成は完全に幾何的でフラックスを含まず、鏡像幾何は$χ^2 \times χ^2 \times S^1$上のファイブレーションであり、元の理論のタイプIIA/IIAおよびIIB/IIB性質を保つ。
• 鏡像対称性は複素構造モジュライとカーラー・モジュライの役割を入れ替える。得られる鏡像は、$U(1)$フラックス$N_i$が双対スカラー$θ$を介して依存する非自明な複素構造を有する$G_2$多様体である。