[論文レビュー] Koszul duality in deformation quantization and Tamarkin's approach to Kontsevich formality

Boris Shoikhet|arXiv (Cornell University)|May 2, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二次的ポアソン反テンソルに伴う多項式代数の普遍的変形量子化に対して、対称代数 $ S(V^*) $ および外積代数 $ \Lambda(V) $ の変形量子化（それぞれの次数付き二次代数として見たとき）が、 Koszul双対であることを確立する。Tamarkin の $ L_\infty $ 同値写像およびモジュール圏のホッホシュィルド複体の枠組みを用いて、変形された Koszul 複体が、二つの量子化代数のホッホシュィルドコホホロジー間の同値写像を誘導することを証明し、$ G_\infty $ 構造および $ \hbar = 0 $ での特殊化により、それらの Koszul 双対性が裏付けられる。

ABSTRACT

Let $α$ be a quadratic Poisson bivector on a vector space $V$. Then one can also consider $α$ as a quadratic Poisson bivector on the vector space $V^*[1]$. Fixed a universal deformation quantization (prediction some weights to all Kontsevich graphs [K97]), we have deformation quantization of the both algebras $S(V^*)$ and $Λ(V)$. These are graded quadratic algebras, and therefore Koszul algebras. We prove that for some universal deformation quantization, independent on $α$, these two algebras are Koszul dual. We characterize some deformation quantizations for which this theorem is true in the framework of the Tamarkin's theory [T1].

研究の動機と目的

• 対称代数および外積代数の Koszul 双対性と整合する普遍的変形量子化を確立すること。
• 二次的ポアソン反テンソルおよびその双対によって誘導される $ S(V^*) $ および $ \Lambda(V) $ の変形量子化が、Koszul 双対な代数であることを証明すること。
• Tamarkin の $ G_\infty $-同値写像および $ L_\infty $-準同型の理論を用いて、Koszul 複体の整合的な変形を構成すること。
• 変形された Koszul 複体上の $ B_{\hbar} $-加群構造が、同型 $ B_{\hbar} \cong (A_{\hbar})^! $ を誘導することを示し、Koszul 双対性を確認すること。

提案手法

• 二次的ポアソン反テンソルをそれ自身の双対に写像する、自然なリー代数同型 $ \mathcal{D}: T_{\text{poly}}(V) \to T_{\text{poly}}(V^*[1]) $ を用いる。
• 形式的重み $ W_\Gamma $ を変数とみなして、Kontsevich の普遍的変形量子化公式を用い、$ \mathbb{C}[[\hbar]] $-代数構造を定義する。
• カテゴリ $ \mathsf{cat}(A,B,K) $ のモジュールのホッホシュィルド複体への $ T_{\text{poly}}(V) $ から $ G_\infty $-同値写像 $ \mathcal{F} $ を構成し、ホモトピー的可換性を保証する。
• $ \mathcal{F} $ を $ L_\infty $-同値写像に制限し、$ T_{\text{poly}}(V) $ 内の Maurer-Cartan 解 $ \alpha $ をホッホシュィルド複体内の解へ上昇させる。
• 自由解体としての $ \mathbb{C}[[\hbar]] $ 上の $ A_\hbar $ における変形 Koszul 複体 $ K_\hbar $ およびそれに整合する $ B_\hbar $-加群構造を構成する。
• 代数 $ B_\hbar $ が $ \mathrm{RHom}_{A_\hbar}(K_\hbar, K_\hbar) $ に同型写像として写ることを証明し、これは $ (A_\hbar)^! $ の定義に他ならない。$ \hbar = 0 $ での特殊化によりこれを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍的変形量子化が存在し、その結果として得られる量子化された対称代数 $ S(V^*)_{\hbar} $ と量子化された外積代数 $ \Lambda(V)_{\hbar} $ が Koszul 双対となるか？
• RQ2 Tamarkin の $ G_\infty $-同値写像枠組みを用いて、Koszul 複体の整合的な変形を構成し、その双対性を実現できるか？
• RQ3 変形された Koszul 複体上の $ B_\hbar $-加群構造が、ホッホシュィルドコホモロジー $ \mathrm{RHom}_{A_\hbar}(K_\hbar, K_\hbar) $ に同型であるか、したがって $ B_\hbar \cong (A_\hbar)^! $ を実現するか？
• RQ4 変形された複体を $ \hbar = 0 $ で特殊化すると、$ S(V^*) $ と $ \Lambda(V) $ 間の古典的 Koszul 双対性が回復されるか？ また、$ \mathbb{C}[[\hbar]] $-線形構造が保存されるか？
• RQ5 $ L_\infty $-準同型 $ \mathcal{F} $ を用いて、ポアソン構造 $ \alpha $ を Maurer-Cartan 解へ上昇させ、両方の代数 $ A_\hbar $ および $ B_\hbar $ に整合的なスター積を誘導できるか？

主な発見

• 二次的ポアソン反テンソル $ \alpha $ による $ S(V^*) $ の変形量子化は、次数付き二次代数 $ S(V^*)_{\hbar} $ を与え、これは Koszul である。
• 双対反テンソル $ \mathcal{D}(\alpha) $ による $ \Lambda(V) $ の変形量子化は、次数付き二次代数 $ \Lambda(V)_{\hbar} $ を与え、これも Koszul である。
• 代数 $ S(V^*)_{\hbar} $ および $ \Lambda(V)_{\hbar} $ は Koszul 双対であり、$ \Lambda(V)_{\hbar} \cong (S(V^*)_{\hbar})^! $ が成り立つ。これは変形 Koszul 複体によって示される。
• 変形 Koszul 複体 $ K_\hbar $ 上の $ B_\hbar $-加群構造が、同型 $ B_\hbar \to \mathrm{RHom}_{A_\hbar}(K_\hbar, K_\hbar) $ を誘導し、$ B_\hbar $ が $ A_\hbar $ の Koszul 双対であることを特定する。
• $ B_\hbar $-作用を $ \hbar = 0 $ で特殊化すると、$ S(V^*) $ と $ \Lambda(V) $ 間の古典的 Koszul 双対性が回復され、$ \mathbb{C}[[\hbar]] $-線形性の双対性が確認される。
• Tamarkin の枠組みから得られる $ L_\infty $-同値写像 $ \mathcal{F} $ により、Maurer-Cartan 解が両代数に整合的なスター積へ一貫して上昇することが保証される。