[論文レビュー] L-infinity algebras and higher analogues of Dirac structures and Courant algebroids

Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$L_∞$-代数を用いて、ディラック構造およびコーラント代数の高次版を導入し、正則な高次ディラック構造が葉層構造と微分形式に対応することを示し、マルチディラック構造と同値であることを証明している。また、これらの構造に対して可観測量の$L_∞$-代数を構成し、ゲツラーの構成を介して閉形式から生じる$L_∞$-代数と関連づけ、場の理論的および幾何的アプローチを統合した。

ABSTRACT

We define a higher analogue of Dirac structures on a manifold M. Under a regularity assumption, higher Dirac structures can be described by a foliation and a (not necessarily closed, non-unique) differential form on M, and are equivalent to (and simpler to handle than) the Multi-Dirac structures recently introduced in the context of field theory by Vankerschaver, Yoshimura and Marsden. We associate an L-infinity algebra of "observables" to every higher Dirac structure, extending work of Baez, Hoffnung and Rogers on multisymplectic forms. Further, applying a recent result of Getzler, we associate an L-infinity algebra to any manifold endowed with a closed differential form H, via a "higher analogue of Courant algebroid twisted by H". Finally, we study the relations between the L-infinity algebras appearing above.

研究の動機と目的

• 高次ディラック構造およびコーラント代数の$L_\infty$-代数を用いた高次版を定義すること。
• 正則な高次ディラック構造が葉層構造と微分形式によって同値であることを示し、マルチディラック構造を単純化すること。
• 高次ディラック構造に対して可観測量の$L_∞$-代数を構成し、多重シンプレクティック形式の可観測量を一般化すること。
• これらの$L_∞$-代数がゲツラーの構成を介して閉形式から生じる$L_∞$-代数と関連することを示すこと。
• 高次ディラック構造およびスプリットコーラント代数から得られる$L_∞$-代数の間の代数的および幾何的関係を明確にすること。

提案手法

• バンドル$E^p = TM \oplus \wedge^p T^*M$を定義し、$\wedge^{p-1}T^*M$値の内積とそのセクション上の括弧を導入することで、スプリットコーラント代数の高次版を構成する。
• 高次ディラック構造を$E^p$の最大的自己正規部分バンドルとして定義し、特にラグランジュ部分バンドルに注目する。
• 正則な高次ディラック構造が、葉層$S \subset TM$と微分形式$\Omega \in \wedge^2 S^* \otimes \wedge^{p-1}T^*M$によって特徴づけられ、$\wedge^{p+1}T^*M$に拡張可能であることを、自然な対応を通じて証明する。
• 導来括弧構成を用いて、高次ディラック構造から可観測量の$L_∞$-代数を構成し、バエズ＝ホフニング＝ロジャーズの多重シンプレクティック形式に関する研究を一般化する。
• ゲツラーの結果を応用し、任意の閉微分形式$H$を持つ多様体に対して、$H$でねじれた高次版スプリットコーラント代数を介して$L_∞$-代数を関連付ける。
• 高次ディラック構造から生じる$L_∞$-代数と、ねじれたスプリットコーラント代数から生じる$L_∞$-代数の関係を分析し、構造的な類似点と相違点を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$L_∞$-代数と多重シンプレクティック幾何学を用いてディラック構造を高次に一般化できるか？
• RQ2 正則な高次ディラック構造は、葉層構造や微分形式といったよく知られたデータを用いてどのように幾何学的に特徴づけられるか？
• RQ3 正則な場合に高次ディラック構造はマルチディラック構造と同値であるか？ もしそうならば、これは場の理論的記述をどのように単純化するか？
• RQ4 高次ディラック構造から可観測量の$L_∞$-代数はどのようにして生じるか？ また、多重シンプレクティック形式から得られるリー$p$-代数をどのように一般化するか？
• RQ5 高次ディラック構造から得られる$L_∞$-代数と、ねじれたコーラント代数を介して閉形式から得られる$L_∞$-代数の関係は何か？

主な発見

• 正則な高次ディラック構造は、葉層$S \subset TM$と微分形式$\Omega \in \wedge^2 S^* \otimes \wedge^{p-1}T^*M$によって完全に特徴づけられ、$\wedge^{p+1}T^*M$に拡張可能である。これは明確な幾何的モデルを提供する。
• 正則な場合に高次ディラック構造はマルチディラック構造と同値であることが示され、本研究と非保存系の場の理論的記述との直接的な関係が確立された。
• すべての高次ディラック構造に対して可観測量の$L_∞$-代数が構成され、多重シンプレクティック幾何におけるリー$p$-代数の構造が一般化された。
• 任意の閉微分形式$H$を持つ多様体に対して、$H$でねじれた高次版スプリットコーラント代数を介して$L_∞$-代数が関連付けられ、ロイテンベルク＝ウインスタインの構成が一般化された。
• 高次ディラック構造から生じる$L_∞$-代数と、ねじれたスプリットコーラント代数から生じる$L_∞$-代数の間には、自然な準同型が存在し、より深い代数的統合の可能性を示唆している。