[論文レビュー] Lattice-valued Overlap and Quasi-Overlap Functions

Rui Paiva, Eduardo S. Palmeira+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2019

Multi-Criteria Decision Making参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、[0,1] 上のオーバラップ関数の一般化として、連続性の要件を除外する新概念「準オーバラップ関数」を導入し、lattice値のオーバラップ関数を定義する。同関数は、同調性、移行性、冪等性、キャンセル性といった重要な性質を備え、有界lattice上でのアーチメデス的L-オーバラップ関数の特徴付けを示し、非自明な冪等元が特定のlattice点にのみ存在することを示している。

ABSTRACT

Overlap functions were introduced as class of bivariate aggregation functions on [0, 1] to be applied in image processing. This paper has as main objective to present appropriates definitions of overlap functions considering the scope of lattices and introduced a more general definition, called of quasi-overlaps, which arise of abolishes the continuity condition. In addition, are investigated the main properties of (quasi-)overlaps on bounded lattices, namely, convex sum, migrativity, homogeneity, idempotency and cancellation law. Moreover, we make a characterization of Archimedian overlaps.

研究の動機と目的

• 単位区間 [0,1] 上のオーバラップ関数を有界latticeへ一般化し、ファジィ論理や画像処理への応用を拡大すること。
• 連続性条件を除外することで、より一般なlatticeベースの集約を可能にする準オーバラップ関数を導入すること。
• 同調性、移行性、冪等性、キャンセル性、凸和といった基本的性質をlattice枠組み内で調査すること。
• アーチメデス的L-オーバラップ関数の特徴付けを行い、非自明な冪等元が存在する条件を確立すること。
• 準オーバラップ関数、可除性を持つt-ノルム、および剰余付きlattice構造との関係を調査すること。

提案手法

• 標準的なオーバラップ関数の5つの公理（対称性、境界条件、単調性、連続性）を一般化することで、有界lattice上でのオーバラップ関数を定義する。
• 連続性条件を除外しつつ、対称性、境界条件、単調性の公理を保持することで、準オーバラップ関数を導入する。
• スコット連続性、再び写像、順序収束といったlattice理論的道具を用いて、非線形lattice上での関数の挙動を分析する。
• ある値 a ∈ L  {0L,1L} が存在し、limx→a+ O(x,x) = a を満たす場合に、アーチメデス的L-オーバラップ関数を特徴付ける。このとき、O は a において非自明な冪等元を持つことを証明する。
• 重み関数の族を用いて、同調性をlattice値関数へ拡張する。
• 分配法則の仮定を排除する代わりに、剰余付きlattice構造を用いることで、鎖に限らないより広範な応用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーバラップ関数を単位区間から有界latticeへ一般化する方法は何か？ その際、本質的性質はどのように保たれるか？
• RQ2 連続性を除外することでオーバラップ関数を定義する影響は何か？ その結果得られる準オーバラップ関数のクラスはどのように異なるか？
• RQ3 アーチメデス的L-オーバラップ関数が非自明な冪等元をもつための条件は何か？
• RQ4 非線形lattice構造において、移行性、同調性、キャンセル性といった性質はどのように振る舞うか？
• RQ5 追加の代数的制約のもとで、準オーバラップ関数においてキャンセル性を回復できるか？

主な発見

• 本稿では、アーチメデス的L-オーバラップ関数に対して、非自明な元 a ∈ L  {0L,1L} が存在し、limx→a+ O(x,x) = a かつ O(b,b) = a を満たす b ∈ L  {0L,1L} が存在することを証明している。
• 連続性が欠落している場合、一般のlatticeではキャンセル性と厳密単調性が同値でないことが示された。これは単位区間とは異なり、一般latticeでは成立しない。
• 厳密な準オーバラップ関数は、構造 ⟨L,≤L,O,1L⟩ が中立元 1L を持つ整域的可換群上にあり、すべての x,y,z ∈ L に対して O(x,y∨z) = O(x,y)∨O(x,z) を満たすとき、かつそのときに限りキャンセル的である。
• 重み関数の族を用いることで、同調性の性質をlattice値関数へ拡張でき、latticeの各要素間で関数の挙動を保存する。
• 可除性を持つ準オーバラップ関数は中間値性質を一般化し、lattice上でのt-ノルムと組み合わせることで、より強い構造的解析が可能になる。
• 結果として、準オーバラップ関数におけるキャンセル性は自発的ではなく、分配法則による結合操作への適合といった追加の代数的制約が必要であることが示された。