[論文レビュー] Least action principles for incompressible flows and optimal transport between shapes

Jian‐Guo Liu, Robert L. Pego+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 56被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、体積保存微分同相群における測地線として、形状間の非圧縮性流体の流れを定式化し、運動エネルギー作用の最小化が、圧力および界面張力がゼロの非粘性ポテンシャル流れのEuler方程式に帰着することを示している。主な結果は、任意の二つの体積が等しい形状は、楕円体測地線の可算和として近似的に接続可能であり、作用の下限値は Wasserstein 距離の二乗に等しくなるが、1次元を除きほとんど到達されないということである。

ABSTRACT

As V. I. Arnold observed in the 1960s, the Euler equations of incompressible fluid flow correspond formally to geodesic equations in a group of volume-preserving diffeomorphisms. Working in an Eulerian framework, we study incompressible flows of shapes as critical paths for action (kinetic energy) along transport paths constrained to be shape densities (characteristic functions). The formal geodesic equations for this problem are Euler equations for incompressible, inviscid potential flow of fluid with zero pressure and surface tension on the free boundary. The problem of minimizing this action exhibits an instability associated with microdroplet formation, with the following outcomes: Any two shapes of equal volume can be approximately connected by an Euler spray---a countable superposition of ellipsoidal geodesics. The infimum of the action is the Wasserstein distance squared, and is almost never attained except in dimension 1. Every Wasserstein geodesic between bounded densities of compact support provides a solution of the (compressible) pressureless Euler system that is a weak limit of (incompressible) Euler sprays. Each such Wasserstein geodesic is also the unique minimizer of a relaxed least-action principle for a two-fluid mixture theory corresponding to incompressible fluid mixed with vacuum.

研究の動機と目的

• 体積保存制約下での運動エネルギー作用の臨界経路として、形状間の非圧縮性流体の流れを形式化すること。
• 形状輸送における微小ドロイプ形成に関連する作用最小化問題の不安定性を調査すること。
• 非圧縮性 Euler スプライと圧力なし圧縮流体のEuler系の弱解との関係を確立すること。
• compactly supported 確率密度関数間の Wasserstein 測地線が、非圧縮性 Euler スプライの極限として得られることを示すこと。
• 各 Wasserstein 測地線が、真空を含む2相流混合モデルにおける緩めた最小作用原理の唯一の最小化子であることを示すこと。

提案手法

• 形状密度を特徴関数で表現するEuler的枠組みを用いて問題を定式化する。
• 非圧縮性・非粘性ポテンシャル流れで、圧力および界面張力がゼロである場合の測地線方程式を形式的に導出する。
• 形状密度に制約を課した輸送経路に沿った運動エネルギーの作用関数を分析する。
• 形状変換を近似するため、楕円体測地線の可算和としての Euler スプライを構築する。
• 2相流混合理論における緩めた最小作用原理を適用し、Wasserstein 測地線を最小化子として特徴付ける。
• 弱収束の議論を用いて、非圧縮性 Euler スプライと圧縮可能圧力なしEuler系の解との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積を保存する非圧縮性流体の流れが、形状を他形状に輸送する際の測地線方程式は何か？
• RQ2 微小ドロイプ形成は、形状輸送の作用最小化問題をどのように不安定化させるか？
• RQ3 形状空間における Euler スプライと Wasserstein 距離の関係は何か？
• RQ4 compactly supported 確率密度関数間の Wasserstein 測地線は、非圧縮性 Euler 流の極限として実現可能か？
• RQ5 Wasserstein 測地線を緩めた作用関数に基づく変分原理で一意に特徴付けることは可能か？

主な発見

• 二つの等積形状間の作用の下限値は、Wasserstein 距離の二乗に等しく、1次元を除きほとんど到達されない。
• 任意の二つの等積形状は、可算和としての楕円体測地線からなる Euler スプライによって近似的に接続可能であり、近似最小化子の存在を示している。
• 有界かつcompactly supported 確率密度関数間の各 Wasserstein 測地線は、非圧縮性 Euler スプライの弱収束極限として得られる。
• 得られる弱収束極限は、圧縮可能圧力なしEuler系の解であり、作用原理を通じて非圧縮性と圧縮性流体力学を結びつける。
• Wasserstein 測地線は、非圧縮性流体と真空を含む2相流混合モデルにおける緩めた最小作用原理の唯一の最小化子である。
• 形式的な測地線方程式は、自由界面で圧力および界面張力がゼロの非圧縮性・非粘性ポテンシャル流れのEuler方程式に対応する。