[論文レビュー] Legendrian Products

Peter Lambert‐Cole|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、接触多様体 $P \times \mathbb{R}$ の形をした接触多様体における2つのレジェンドリアン部分多様体の積であるレジェンドリアン積を導入する。この構成により、$P \times Q \times \mathbb{R}$ 内の新たなレジェンドリアン部分多様体が得られ、そのトーラス＝ベンニン invariant およびマスロフ類の明示的公式が与えられる。主な結果として、積の同相型が因子の特定の埋め込み方によって依存すること、すなわちそのレジェンドリアン同相型に依存するのではなく、単にその同相型に依存するのではなく、無限に多くの非同相な積が、1つの同相型から得られることを示している。

ABSTRACT

This paper introduces two constructions of Legendrian submanifolds, called the Legendrian product and spinning, and computes their classical invariants, the Thurston-Bennequin invariant and the Maslov class, in R^{2n+1}. These constructions take two Legendrians K,L and returns a product K x L, they generalize other previous constructions in contact topology, such as frontspinning and hypercube tori, and are equivalent in R^{2n+1}. Interestingly, this construction relies upon the explicit embeddings of K,L and not their Legendrian isotopy classes.

研究の動機と目的

• 接触多様体 $P \times \mathbb{R}$ のタイプにおけるレジェンドリアン部分多様体の積を用いた新しい構成法を開発すること。
• これらの積の古典的不変量であるトーラス＝ベンニン不変量およびマスロフ類を計算すること。
• 積のレジェンドリアン同相型が因子の特定の埋め込み方によって依存するかどうかを示すこと、すなわち単にその同相型に依存するのではなく。
• フロントスプライニングやハイパーキューブトーラスといった既存の構成を統一的に扱えるフレームワークに一般化すること。
• $\mathbb{R}^{2n+1}$ における不変量の明示的公式を提供し、具体的な計算と新しい例の構成を可能にすること。

提案手法

• レジェンドリアン積 $K \times L$ を、$P \times Q$ 内のラグランジュアン積 $\bar{K} \times \bar{L}$ の上への上げとして定義する。ここで $\bar{K}, \bar{L}$ はそれぞれ $K, L$ のラグランジュアン射影である。
• 因子のリーブ弦作用 $\{Z(a_i)\}, \{Z(b_j)\}$ が互いに交わらないことを要請することで、積が埋め込まれていることを保証する。そうでない場合には、積は自己交差を持つ。
• リーブ弦作用と符号 $\sigma(a_i), \sigma(b_j)$ を用いて、リンク数および古典的不変量を計算する。
• トーラス＝ベンニン不変量の公式を導出し、$tb(K), tb(L), \chi(T^*K), \chi(T^*L)$ および弦ペアに関する符号と作用に依存する重み付き和を含む。
• リーブ弦作用の相対的サイズと、環境空間の次元 $n, m$ の偶奇に依存する符号関数 $\tau(a_i, b_j)$ を導入する。
• ストークスの定理を用いて、ラグランジュアン射影の各面において面積恒等式を強制し、可能なリーブ弦作用を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触多様体 $P \times \mathbb{R}$ のタイプにおいて、フロントスプライニング やハイパーキューブトーラスといった既知の構成を一般化するレジェンドリアン部分多様体の積構成を定義できるか？
• RQ2 このような積構成において、古典的不変量（トーラス＝ベンニン数およびマスロフ類）はどのように振る舞うか？
• RQ3 積のレジェンドリアン同相型は、因子の特定の埋め込み方に依存するのか、それとも単にその同相型に依存するのか？
• RQ4 明示的な不変量の公式を $\mathbb{R}^{2n+1}$ で導出できるか。また、それらは積の幾何に何を明らかにするか？
• RQ5 3つのレジェンドリアン紐結び $K_1, K_2, K_3$ の積の、可能なトーラス＝ベンニン不変量の範囲は何か。また、弦作用と符号に応じてどのように変化するか？

主な発見

• レジェンドリアン部分多様体 $K \times L$ のトーラス＝ベンニン不変量は、$\mathbb{R}^{2n+1} \times \mathbb{R}^{2m+1}$ 内で、$tb(K)$, $tb(L)$, その単位余接 bundle のオイラー特性 $\chi(T^*K), \chi(T^*L)$ および符号と作用に依存する重み付き和を含む公式で与えられる。
• 積の構成は因子の特定の埋め込み方に依存する。したがって、1つの同相型から、無限に多くの非同相な積が得られる。
• 3つのレジェンドリアン紐結び $K_1, K_2, K_3$ に対して、$K_1 \times K_2 \times K_3$ のトーラス＝ベンニン不変量は、弦三重組の和として計算され、関数 $\tau(a_i, b_j, c_k)$ が三角不等式を満たす場合に2、そうでない場合に0をとる。
• 与えられた紐結び型の三重積の最小 $tb$ は $-28$、最大は $24$ であり、弦作用を調整することでその間の値も実現可能である。
• ストークスの定理から得られる面積恒等式により、リーブ弦作用が制約される。各ラグランジュアン射影の面に対して、正の弦作用の和から負のものの和を引いた値が、面積に等しくならなければならない。面積は正でなければならない。
• 適切に弦作用を選べば、$tb = -28$ または $tb = 24$ といった広範な $tb$ 値を実現可能であり、構成の豊かさが、多様な不変量を生成できることを示している。