[論文レビュー] Lie bialgebras and the cyclic homology of $A_\infty$ structures in topology

Xiaojun Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、循環コホモロジーが、等長的トポロジカル conformal field theory から生じる、自然な自己随伴的 Lie bialgebra 構造を持つことを確立している。これは、Calabi-Yau $A_\infty$ 圏の循環コホモロジーが、等長的トポロジカル conformal field theory から生じることを示している。さらに、接触型境界を持つシンプレクティック多様体の Fukaya 圏の循環コホモロジーから、境界の線形化接触コホモロジーへの Lie bialgebra 同型写像を構成し、$A_\infty$-カテゴリカルおよび非可換幾何学的手法を用いて、シンプレクティック位相とストリング位相の構造を統一する。

ABSTRACT

$A_\infty$ categories are a mathematical structure that appears in topological field theory, string topology, and symplectic topology. This paper studies the cyclic homology of a Calabi-Yau $A_\infty$ category, and shows that it is naturally an equivariant topological conformal field theory, and in particular, contains an involutive Lie bialgebra. Applications of the theory to string topology and the Fukaya category are given; in particular, it is shown that there is a Lie bialgebra homomorphism from the cyclic cohomology of the Fukaya category of a symplectic manifold with contact type boundary to the linearized contact homology of the boundary.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau $A_\infty$ 圏の循環コホモロジーが自然に自己随伴的 Lie bialgebra 構造を持つことを確立すること。
• 接触型境界を持つシンプレクティック多様体の Fukaya 圏の循環コホモロジーと、境界の線形化接触コホモロジーを結びつけること。
• $A_\infty$-カテゴリーや等長的トポロジカル conformal field theory の枠組みを通じて、ストリング位相とシンプレクティック位相の構造を統一すること。
• Calabi-Yau $A_\infty$ 圏の循環コホモロジーが等長的トポロジカル conformal field theory であることを示すこと。

提案手法

• Costello の結果（Calabi-Yau $A_\infty$ 圏が開-閉トポロジカル conformal field theory (TCFT) を導く）を用い、閉状態上の $S^1$-等長的構造を分析する。
• Getzler の重力代数と等長的 TCFT の理論を適用し、$S^1$-作用とその商を介して、循環コホモロジー上に Lie bialgebra 構造を構成する。
• 有理ホモトピー論を用い、単連結コンパクト多様体 $M$ のコチェイン代数を $\mathbb{Q}$ 上の循環 $A_\infty$ 代数としてモデル化し、ストリング位相と比較可能にする。
• 境界 $W$ の線形化接触コホモロジーから、$M$ の Fukaya 圏の循環コホモロジーへのチェインレベル写像 $f$ を、除去不能な特異点を持つ $J$-擬全純曲線を用いて構成する。
• 特異点付きの $J$-擬全純ディスクおよびシリンダーの 1 次元モジュライ空間の境界を解析することで、$f$ がホモトピーの意味で Lie bialgebra 写像であることを示す。
• この構成は、双 Lie $\infty$-代数への写像へと一般化され、シンプレクティック場理論と $A_\infty$-カテゴリカル不変量の間のより深いホモトピー的整合性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau $A_\infty$ 圏の循環コホモロジーは自然に Lie bialgebra 構造を持つのか？
• RQ2 ストリング位相における Lie bialgebra 構造は、多様体のコチェイン代数の有理 $A_\infty$ モデルの循環コホモロジーによってモデル化可能か？
• RQ3 接触型境界を持つシンプレクティック多様体の Fukaya 圏の循環コホモロジーから、境界の線形化接触コホモロジーへの標準的写像が存在するか？
• RQ4 循環コホモロジー上の TCFT 構造の $S^1$-等長性は、重力代数と Lie bialgebra 構造とどのように関係するか？
• RQ5 接触コホモロジーから Fukaya 圏の循環コホモロジーへの写像 $f$ が、ホモロジー上で同型を誘導する条件は何か？

主な発見

• Calabi-Yau $A_\infty$ 圏の循環コホモロジーが、自然に微分複体的自己随伴的 Lie bialgebra 構造を持つことが示された。
• このような圏の循環コホモロジーは等長的トポロジカル conformal field theory であり、Getzler の重力代数を Lie bialgebra 階層へ一般化する。
• 単連結コンパクト多様体 $M$ に対して、そのコチェイン代数の有理 $A_\infty$ モデルの循環コホモロジーは、自由ループ空間の等長ホモロジー上での Chas-Sullivan の Lie bialgebra 構造を実現する。
• 接触型境界を持つシンプレクティック多様体の Fukaya 圏の循環コホモロジーから、境界の線形化接触コホモロジーへの Lie bialgebra 同型写像が存在する。
• 線形化接触コホモロジーから Fukaya 圏の循環コホモロジーへの写像 $f$ は、$J$-擬全純曲線の 1 次元モジュライ空間の境界を解析することで、ホモトピーの意味で Lie bialgebra 写像であることが示された。
• この構成は、$f$ が双 Lie $\infty$-代数への写像へ拡張可能であることを示唆し、シンプレクティック場理論と $A_\infty$-カテゴリカル不変量の間のより深いホモトピー的関係を示唆する。