[論文レビュー] Limit theories and continuous orbifolds

Cosimo Restuccia|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 123被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、中心電荷 $c \to 3$ のときの $N=2$ 超対称的最小模型の極限を調査し、スピンの量子数のスケーリングに応じて2つの異なる conformal field theory (CFT) が現れることを示している。主な結果は、2つの極限理論の明示的構成と同定である：未コンパクト化の実ボソン2つと自由フェルミオン2つの自由 $N=2$ 超共形場理論、およびその連続的 $U(1)$ オルビフォールド。両理論は、Kazama-Suzuki コセット模型における幾何的解釈を経て、大レベル極限における最小模型から導出される。

ABSTRACT

Relativistic QFTs are in general defined by a collection of effective actions, describing the dynamics of quantum fields at different energy scales. The consequent natural idea of a space of theories is still a rather imprecise notion, since a detailed knowledge or a classification of QFTs is out of reach. In two dimensions the situation is in a better shape: in this context CFTs are under control in many instances, and we know sequences of rational theories emerging as end-points of RG flows. The present thesis explores the behaviour of sequences of rational two-dimensional CFTs when the central charge approaches its supremum. After a review of various notions useful to study limit theories, like the concept of averaged fields and the construction of continuous orbifolds, we analyse in detail the limit of sequences of N=2 supersymmetric CFTs that are connected by RG flows. The limit is not unique, since with extended Virasoro symmetry one can choose different scalings for the labels of the spectrum in the limit. We construct explicitly two c=3 CFTs emerging as the large level limit of minimal models, and we identify both of them: one is the N=2 CFT of two uncompactified free real bosons and two free real fermions, the other is its continuous orbifold by U(1). We compare spectrum, torus partition function, correlators and boundary conditions. The neatest interpretation of this result is given by studying the realisation of N=2 minimal models as gauged WZW models: taking the two different limits amounts to zooming into two different regions of the target-space geometry. At the end we speculate about possible extensions and generalisations.

研究の動機と目的

• 中心電荷がその上限に近づくとき（$c \to 3$）の有理的2次元共形場理論の系列の振る舞いを理解すること。
• 特に、レノルム化群フローとスペクトルスケーリングの文脈において、極限理論の概念を明確にすること。
• 大レベル極限における $N=2$ 最小模型から生じる極限共形場理論の構成と同定を行うこと。
• Kazama-Suzuki コセット模型の目標空間構造を通じた幾何的解釈を用いて、異なる極限の解釈を検討すること。
• $su(n+1)$ Kazama-Suzuki モデルの極限理論の形を予想し、自由理論の $U(n)$ 連続オルビフォールドであると提案すること。

提案手法

• $N=2$ 超共形代数の枠組みと、それらのゲージ化された Wess-Zumino-Witten (WZW) モデルとしての実現を用いて、$N=2$ 最小模型の大レベル極限を分析する。
• 平均化された場と連続オルビフォールドの概念を用いて、有理的理論の系列から極限 CFT を構成する。
• 極限理論と元の最小模型との間で、スペクトル、トーラス分割関数、相関関数、境界条件といった主要な観測量を比較する。
• Dブレインの存在下での境界条件および1点関数を分析するため、ワールドシート双対性と Cardy の境界状態形式を用いる。
• 境界状態とアンナラス振幅の整合性を保証するため、Verlinde の公式とモジュラー $S$ 行列の制約を用いる。
• 2つの異なる極限が、基礎となる WZW モデルの目標空間における異なる幾何的領域に対応していると解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N=2$ 最小模型の $c \to 3$ 極限として得られる可能性のある共形場理論は何か？
• RQ2 なぜ極限が一意でないのか。拡張された Virasoro 対称性がスペクトル内の量子数の異なるスケーリングを許容する理由は何か？
• RQ3 2つの異なる極限理論は、自由場およびオルビフォールド射影の観点から、どのように明示的に構成され、同定されるか？
• RQ4 Kazama-Suzuki コセット模型の文脈において、2つの異なる極限の幾何的解釈は何か？
• RQ5 $su(n+1)$ Kazama-Suzuki モデルの極限は、自由 $N=2$ 理論の $U(n)$ 連続オルビフォールドとして記述できるか。その根拠となる証拠は何か？

主な発見

• 大レベル極限における $N=2$ 最小模型から、2つの異なる $c=3$ 共形場理論が出現する：未コンパクト化の実ボソン2つと自由フェルミオン2つの自由 $N=2$ 超共形場理論。
• 2番目の極限理論は、連続的 $U(1)$ 変換の平均化によって構成された、自由 $N=2$ 理論の連続的 $U(1)$ オルビフォールドとして同定される。
• 2つの極限理論は、スペクトル、トーラス分割関数、相関関数、境界条件の違いによって区別され、これらは明示的に計算され、比較されている。
• 極限の非一意性は、拡張された Virasoro 対称性に起因し、スペクトル内の量子数の異なるスケーリングが、基礎となる WZW モデルの目標空間における異なる幾何的領域を生じさせることに起因する。
• $N=2$ 最小模型を $su(2)$ Kazama-Suzuki コセットとして解釈することで、極限の幾何的解釈が確認された。このとき、2つの極限は、目標空間幾何の異なる領域にズームインしていることに相当する。
• 境界スペクトルの分析により、$su(n+1)$ Kazama-Suzuki モデルの $c=3$ 極限が、自由 $N=2$ 理論の $U(n)$ 連続オルビフォールドであるという予想が支持される。その根拠は、1点関数と境界状態構造の一致にある。