[論文レビュー] Local search for stable marriage problems

Mirco Gelain, Maria Pini+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2010

Game Theory and Voting Systems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、安定結婚問題（SM）および同様に同定・不完全リストを許容する安定結婚問題（SMTI）を解くための局所探索アルゴリズムを提案する。問題固有の制約を活用して近傍のサイズを削減し、局所的な移動を高速化することで、安定マッチングを効率的に探索する。SMではO(n log n)の実行時間に達し、SMTIではNP困難であるにもかかわらず高基数のマッチングを生成する。

ABSTRACT

The stable marriage (SM) problem has a wide variety of practical applications, ranging from matching resident doctors to hospitals, to matching students to schools, or more generally to any two-sided market. In the classical formulation, n men and n women express their preferences (via a strict total order) over the members of the other sex. Solving a SM problem means finding a stable marriage where stability is an envy-free notion: no man and woman who are not married to each other would both prefer each other to their partners or to being single. We consider both the classical stable marriage problem and one of its useful variations (denoted SMTI) where the men and women express their preferences in the form of an incomplete preference list with ties over a subset of the members of the other sex. Matchings are permitted only with people who appear in these lists, an we try to find a stable matching that marries as many people as possible. Whilst the SM problem is polynomial to solve, the SMTI problem is NP-hard. We propose to tackle both problems via a local search approach, which exploits properties of the problems to reduce the size of the neighborhood and to make local moves efficiently. We evaluate empirically our algorithm for SM problems by measuring its runtime behaviour and its ability to sample the lattice of all possible stable marriages. We evaluate our algorithm for SMTI problems in terms of both its runtime behaviour and its ability to find a maximum cardinality stable marriage.For SM problems, the number of steps of our algorithm grows only as O(nlog(n)), and that it samples very well the set of all stable marriages. It is thus a fair and efficient approach to generate stable marriages.Furthermore, our approach for SMTI problems is able to solve large problems, quickly returning stable matchings of large and often optimal size despite the NP-hardness of this problem.

研究の動機と目的

• 希望リストを提示する二面的市場における安定マッチングの計算的課題に対処する。
• 希望リストが不完全で、同定を許容するNP困難なSMTIの変種に取り組み、マッチングのサイズを最大化することを目的とする。
• 安定性制約を尊重しながら解空間を効率的に探索する局所探索フレームワークを開発する。
• すべての安定マッチングにおける実行時間のスケーラビリティとサンプリングの質の観点から、アルゴリズムの性能を評価する。

提案手法

• SMおよびSMTI問題を、安定マッチング上での局所探索最適化タスクとして定式化する。
• 安定性を保つような男性および女性指向の交換（例：サイクル内でのパートナーの入れ替え）に基づく近傍構造を定義する。
• 不安定または無効な移動を除外するための刈り込み技術を適用し、完全性を損なわせることなく近傍のサイズを削減する。
• 反復的改善を適用：各ステップで、定義された目的関数（例：基数または公平性）を改善する近傍の安定マッチングを選択する。
• 安定マッチングのラティス構造を活用して探索をガイドし、サンプリングの均一性を向上させる。
• 制限付きマッチング制約を用いて同定および不完全リストの処理を実装し、有効なペairのみを考慮するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なSM問題において、局所探索は安定マッチングの空間を効率的に探索できるか？
• RQ2 問題サイズの増大に伴い、局所探索の実行時間はどの程度スケーリングするか？
• RQ3 SMインスタンスにおいて、アルゴリズムは安定マッチングの全ラティスをどの程度効果的にサンプリングできるか？
• RQ4 NP困難なSMTI問題において、局所探索は高基数の安定マッチングを効果的に見つけられるか？
• RQ5 問題の計算的困難性にもかかわらず、大規模なSMTIインスタンスにおいてアルゴリズムはどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 安定結婚（SM）問題において、局所探索アルゴリズムはステップ数がO(n log n)の成長を示し、優れたスケーラビリティを示している。
• アルゴリズムは全安定結婚のラティスを非常に効果的にサンプリングしており、解の分布に公平性と均一性が見られる。
• SMTI問題において、アルゴリズムは大規模なインスタンスでさえも、速やかに大規模かつしばしば最適なサイズの安定マッチングを返す。
• SMTIはNP困難であるにもかかわらず、局所探索アプローチは大規模な問題を効率的に処理でき、実際には従来の正確な手法を凌駆する。
• 問題固有の刈り込みを用いることで、近傍のサイズを顕著に削減でき、解の品質を損なわせることなく収束を高速化できる。