[論文レビュー] Locally interacting diffusions as space-time Markov random fields

Daniel Lacker, Kavita Ramanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所的に相互作用する拡散過程が局所的に有限なグラフ上に存在する場合、時間経過とともにパス空間上でも第二階のマルコフ確率場（Markov random field）の性質を保つことを確立している。初期のギブス測度と空間時間ギブス測度との間の全単射を示し、ギブスの一意性を証明している。これにより、パスの同時分布が初期条件と局所的仕様によって完全に決定されることを示している。

ABSTRACT

We consider a countable system of interacting (possibly non-Markovian) stochastic differential equations driven by independent Brownian motions and indexed by the vertices of a locally finite graph $G = (V,E)$. The drift of the process at each vertex is influenced by the states of that vertex and its neighbors, and the diffusion coefficient depends on the state of only that vertex. Such processes arise in a variety of applications including statistical physics, neuroscience, engineering and math finance. Under general conditions on the coefficients, we show that if the initial conditions form a second-order Markov random field on $d$-dimensional Euclidean space, then at any positive time, the collection of histories of the processes at different vertices forms a second-order Markov random field on path space. We also establish a bijection between (second-order) Gibbs measures on $(\R^d)^V$ (with finite second moments) and a set of space-time (second-order) Gibbs measures on path space, corresponding respectively to the initial law and the law of the solution to the stochastic differential equation. As a corollary, we establish a Gibbs uniqueness property that shows that for infinite graphs the joint distribution of the paths is completely determined by the initial condition and the specifications, namely the family of conditional distributions on finite vertex sets given the configuration on the complement. Along the way, we establish various approximation and projection results for Markov random fields on locally finite graphs that may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 局所的に相互作用する拡散過程の時間的挙動が、パス空間上でのマルコフ確率場として特徴付けられることを目的とする。
• 状態空間上の初期ギブス測度とパス空間上の空間時間ギブス測度との間の厳密な対応関係を確立すること。
• 無限グラフに対してギブスの一意性を証明し、パス分布が初期条件と局所的仕様によって完全に決定されることを示すこと。
• 非マルコフ的ダイナミクスと一般な相互作用構造を持つ無限次元SDEに、マルコフ確率場の枠組みを拡張すること。
• 局所的に有限なグラフ上のマルコフ確率場に対して、主定理の適用範囲を超える基礎的近似および射影結果を提供すること。

提案手法

• 各頂点の動的挙動がその状態と近隣の状態に依存する、局所的に有限なグラフ $G = (V,E)$ 上の相互作用SDE系を形式化し、ドリフトおよび拡散係数を用いる。
• 係数のリプシッツ連続性および線形成長条件の下で、弱解とパスワイズ一意性を解析するため、伊藤の公式とギルサノフの定理を適用する。
• 有限グラフ近似を用いて、有限系から無限グラフへの結果の拡張を図り、分布収束およびタイトネスの議論を用いる。
• 有限集合上での補集合を条件とする独立性を用いて、パス空間 $\mathcal{C}_t^V$ 上の第二階のマルコフ確率場を定義する。
• SDE解の分布をキーパーツとして用い、$({\mathbb{R}}^d)^V$ 上の第二階ギブス測度と $\mathcal{C}^V$ 上の空間時間ギブス測度との間の全単射を構成する。
• 線形成長を満たす逐次可測なドリフトに対してギルサノフの定理を適用可能であることを正当化し、ドレアン＝ドレアン指数が真のマルティンゲールであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に有限なグラフ上に定義された相互作用SDE系の解が、パス空間上でも第二階のマルコフ確率場の性質を保つための条件は何か？
• RQ2 状態空間上の初期ギブス測度とパス空間上の空間時間ギブス測度との間で、一対一の対応関係を確立できるか？
• RQ3 パス過程の同時分布が、初期条件と有限部分集合上での局所的仕様によってどの程度決定されるか？
• RQ4 有限グラフ近似は、無限グラフにおける極限においてマルコフ確率場の性質とギブスの一意性を証明するためにどのように寄与するか？
• RQ5 このような無限系において、パスワイズ一意性と弱解の存在を保証するためのドリフトおよび拡散係数の十分条件は何か？

主な発見

• 初期条件が $({\mathbb{R}}^d)^V$ 上の第二階マルコフ確率場であれば、任意の $t > 0$ に対して、軌道の集合 $(X_v[t])_{v \in V}$ はパス空間 $\mathcal{C}_t^V$ 上の第二階マルコフ確率場をなす。
• 有限第二モーメントを有する $({\mathbb{R}}^d)^V$ 上の第二階ギブス測度と $\mathcal{C}^V$ 上の空間時間ギブス測度との間には全単射が存在し、初期分布とSDE解の分布を結びつける。
• ギブスの一意性が成り立つ：無限グラフでは、SDE系の分布は初期条件と、有限頂点集合上での補集合を条件とする条件付き分布の族によって完全に決定される。
• 初期分布が与えられた仕様に対して一意な第二階ギブス測度である場合、任意の $t > 0$ における解の分布は、対応する仕様に対するパス空間上の一意な第二階ギブス測度である。
• 有限グラフ近似を用いて、無限設定におけるマルコフ確率場の性質を証明し、分布収束およびタイトネスにより、極限が性質を引き継ぐことを保証する。
• パスワイズ一意性の証明は、ドリフトおよび拡散係数のリプシッツ連続性の下で、伊藤の公式とグロワールの不等式を用いる。これにより弱解の一意性が保証される。