[論文レビュー] Manin's conjecture vs. Malle's conjecture

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|May 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限群作用による射影空間の商多様体とディリクレ級数解析を用いて、特異Fano多様体の有理点に関するミナの予想と、数体拡張の分布に関するマーレの予想との間のヒューリスティックな対応を確立する。主な結果は、群作用のエイジ不変量が多様体の幾何的不変量と一致する場合、このような商多様体上の有理点の漸近的挙動が、ガロア拡張の分布と一致することである。

ABSTRACT

By a heuristic argument, we relate two conjectures. One is a version of Manin's conjecture about the distribution of rational points on a Fano variety. We concern specific singular Fano varieties, namely quotients of projective spaces by finite group actions, and their singularities play a key role. The other conjecture is a generalization of Malle's conjecture about the distribution of extensions of a number field. Main tools are several Dirichlet series and previously obtained techniques, especially the untwisting, for the counterpart over a local field.

研究の動機と目的

• 特異Fano多様体上の有理点の分布と、数体のガロア拡張の分布との間の関係を調査すること。
• 商多様体 $\overline{X} = \mathbb{P}^d/G$ の幾何が、数体の数え上げ問題における算術的数え上げ関数とどのように関係するかを調査すること。
• McKay対応と高さゼータ関数を用いて、2つの予想（ミナの（有理点に関して）とマーレの（拡張に関して））を統一すること。
• 特異点とクレパント解消が、算術的および幾何的数え上げ問題の両方において果たす役割を分析すること。
• 有限群が表現に作用する際のエイジ関数と共轭類構造を用いて、マーレの予想の精錬版を提示すること。

提案手法

• 有限群 $G$ の作用による射影空間の商多様体 $\overline{X} = \mathbb{P}^d/G$ を構成し、その特異点は対数終票特異点をもつ。
• 反標準バンドルへのアデール的計量を用いて、$\overline{X}$ の有理点に高さ関数を定義する。
• 中間被覆から来ない点としての原始的 $K$-有理点を定義し、蓄積する薄い部分集合を除外する。
• 局所体からのアンターンティング技法を適用し、グローバルな高さゼータ関数とディリクレ級数を関連付ける。
• $V$-判別式と拡張された $V$-判別式を用いて、数体 $K$ 上の $G$-体を数える。
• ディリクレ級数 $Z^\mathrm{disc}(s)$ の収束の abscissa を分析し、それが有理点および拡張の漸近的成長と関係することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商Fano多様体 $\overline{X} = \mathbb{P}^d/G$ 上の有理点の漸近的数え上げは、数体の $G$-拡張の分布とどのように関係するか？
• RQ2 有限群作用のエイジ不変量 $\mathrm{age}(G)$ が、有理点および数体拡張の成長率をどの程度決定するか？
• RQ3 $K$-共轭類のうちエイジが最小であるものの構造は、ミナの予想とマーレの予想の両方における対数的項を説明できるか？
• RQ4 蓄積する薄い部分集合が存在する状況において、原始的有理点が2つの予想を調和させる役割を果たすか？
• RQ5 高さゼータ関数および $V$-判別式のディリクレ級数の極は、商多様体の幾何的および算術的不変量をどのように反映するか？

主な発見

• $\mathrm{age}(G) > 1$ の場合、ディリクレ級数 $Z^\mathrm{disc}(s)$ は $s=1$ で収束し、$X_{\mathrm{prim}}(K)$ 上の有理点数え上げが $s=1$ で単純極を持つことを示唆し、予想 5.6 と整合的である。
• $\mathrm{age}(G) = 1$ の場合、$Z^\mathrm{disc}(s)$ の右端の極は $s=1$ にあり、その位数は $\upsilon(G)$ に一致し、ミナの予想における対数的項 $\gamma(X)$ と一致する。
• $\mathrm{age}(G) < 1$ の場合、$Z^\mathrm{disc}(s)$ の収束の abscissa は $s = 1/\mathrm{age}(G) > 1$ にあり、これは予想 12.10 における成長率 $B^{1/\mathrm{age}(G)}$ と一致する。
• 漸近公式 $N_{G,V,K}(B) \sim CB^{1/\mathrm{age}(G)}(\log B)^{\upsilon(G)}$ は、$G \subset S_n$ かつ $V = K^{2n}$ の場合にマーレの予想を一般化する。
• 原始的有理点 $X_{\mathrm{prim}}(K)$ は、予想 5.6 が成り立つ自然な部分集合を提供し、仮定のもとでその高さゼータ関数は $V$-判別式級数と一致する。
• エイジ不変量 $\mathrm{age}(G) = 1$ のとき、2つの予想が同じ極構造と成長順序を予測するため、対応は最も正確である。