[論文レビュー] Markovian Matrix Product Density Operators : Efficient computation of global entropy

Isaac H. Kim|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Quantum many-body systems参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、混合状態のための行列積状態の部分クラスであるマルコフ型行列積密度演算子（MPDO）を導入し、そのヴォン・ノイマンエントロピーが古典的コンピュータ上で効率的に計算可能であることを示している。局所的な不等式の集合を満たすことで、近似的な量子マルコフ連鎖構造が証明され、その結果、グローバルエントロピーが局所エントロピーに再帰的に分解され、多項式時間での計算が可能になる。主な結果は、1次元局所ハミルトニアンの熱的状態に関する妥当な予想を仮定すれば、有限温度における自由エネルギー問題はNPに属するということである。これは、基底状態問題がQMA完全であるのに対し、有限温度では古典的可解性への可能性を示唆する。

ABSTRACT

We introduce the Markovian matrix product density operator, which is a special subclass of the matrix product density operator. We show that the von Neumann entropy of such ansatz can be computed efficiently on a classical computer. This is possible because one can efficiently certify that the global state forms an approximate quantum Markov chain by verifying a set of inequalities. Each of these inequalities can be verified in time that scales polynomially with the bond dimension and the local Hilbert space dimension. The total number of inequalities scale linearly with the system size. We use this fact to study the complexity of computing the minimum free energy of local Hamiltonians at finite temperature. To this end, we introduce the free energy problem as a generalization of the local Hamiltonian problem, and study its complexity for a class of Hamiltonians that describe quantum spin chains. The corresponding free energy problem at finite temperature is in NP if the Gibbs state of such Hamiltonian forms an approximate quantum Markov chain with an error that decays exponentially with the width of the conditioning subsystem.

研究の動機と目的

• 混合量子状態におけるヴォン・ノイマンエントロピーの計算困難性、特に有限温度における計算困難性に対処すること。
• 自由エネルギー問題を導入することで、局所ハミルトニアン問題を有限温度に一般化すること。
• 短距離相関を持つ有限温度における量子スピン系が、古典的に効率的にシミュレート可能かどうかを調査すること。
• 1次元局所ハミルトニアンの最小自由エネルギーが、多項式時間で証明可能となる条件を確立すること。
• 行列積密度演算子におけるマルコフ構造に基づく、熱的状態の古典的証明枠組みを提供すること。

提案手法

• グローバル状態が近似的な量子マルコフ連鎖条件を満たすような、行列積密度演算子の部分クラスとしてマルコフ型MPDOを提案する。
• グローバル状態が近似的な量子マルコフ連鎖を形成することを証明するために、局所的かつ効率的に検証可能な不等式の集合を用いる。
• マルコフ条件の再帰的適用により、グローバルエントロピーを1体および2体部分系上のエントロピーの線形結合に分解する。
• エントロピーの連続性とトレース距離の境界を用いて、MPDOの近似誤差と自由エネルギー誤差を関連付ける。
• 局所テンソルデータを用いてマルコフ構造を多項式時間で検証し、エントロピー分解の効率的証明を可能にする。
• 効率的なエントロピー計算を活用して、最小自由エネルギーの多項式時間上界を構築し、NP証明に適したものとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似的な量子マルコフ連鎖条件を満たす混合量子状態のヴォン・ノイマンエントロピーは、効率的に計算可能か？
• RQ2 1次元局所ハミルトニアンにおける有限温度自由エネルギー問題がNPに属する条件は何か？
• RQ3 1次元局所ハミルトニアンの熱的状態は、多項式結合次元および多項式精度のもとでマルコフ型MPDOによって近似可能か？
• RQ4 局所データに基づいて、行列積密度演算子のグローバルエントロピーに対する古典的証明手順は存在するか？
• RQ5 マルコフ型MPDO構造が捉える有限温度における長距離相関の欠如は、自由エネルギー問題の古典的可解性をもたらすか？

主な発見

• マルコフ型MPDOのヴォン・ノイマンエントロピーは、1体および2体部分系上の局所エントロピーの和に分解することで、多項式時間で計算可能である。
• MPDOテンソルに対して、多項式時間で検証可能な局所不等式の集合が成り立つ場合、グローバル状態は近似的な量子マルコフ連鎖を形成する。
• MPDOが真の状態の1/poly(n)近似である場合、エントロピー近似誤差はO(n^{-1-α})（任意のα > 0）で有界である。
• 1次元局所ハミルトニアンの有限温度T = O(1)における自由エネルギーは、多項式結合次元のマルコフ型MPDOを用いて、1/poly(n)誤差で証明可能である。
• 予想1のもとでは、1次元局所ハミルトニアンの有限温度における最小自由エネルギー問題はNPに属する。これは、多項式時間で検証可能なMPDO近似が存在するためである。
• 本手法はスペクトルギャップの仮定を避け、代わりに熱的状態のマルコフ構造にのみ依存しており、これは熱化が量子計算複雑性を単純化することを示唆する。