[論文レビュー] Matrix Model Superpotentials and Calabi-Yau Spaces: an ADE Classification

Carina Curto|arXiv (Cornell University)|May 6, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$σ=1$ スーパーレイノルム場理論におけるADEスーパーポテンシャルと、ADE特異点をもつケラビ・ヤウ3-foldから導かれる行列モデルスーパーポテンシャルの間の正確な対応関係を確立し、ダイクグラーフ＝ヴァーファ予想を裏付ける。非孤立特異点をもつ新しい「ハット」幾何学（$\widehat{O}, \widehat{A}, \widehat{D}, \widehat{E}$）を導入し、ADE分類を一般化するとともに、行列因子化の変形を用いた小解消のアルゴリズム的手法を提供する。

ABSTRACT

We use F. Ferrari's methods relating matrix models to Calabi-Yau spaces in order to explain Intriligator and Wecht's ADE classification of $\N=1$ superconformal theories which arise as RG fixed points of $\N = 1$ SQCD theories with adjoints. The connection between matrix models and $\N = 1$ gauge theories can be seen as evidence for the Dijkgraaf--Vafa conjecture. We find that ADE superpotentials in the Intriligator--Wecht classification exactly match matrix model superpotentials obtained from Calabi-Yau's with corresponding ADE singularities. Moreover, in the additional $\Hat{O}, \Hat{A}, \Hat{D}$ and $\Hat{E}$ cases we find new singular geometries. These `hat' geometries are closely related to their ADE counterparts, but feature non-isolated singularities. As a byproduct, we give simple descriptions for small resolutions of Gorenstein threefold singularities in terms of transition functions between just two coordinate charts. To obtain these results we develop techniques for performing small resolutions and small blow-downs, including an algorithm for blowing down exceptional $\PP^1$'s. In particular, we conjecture that small resolutions for isolated Gorenstein threefold singularities can be obtained by deforming matrix factorizations for simple surface singularities -- and prove this in the length 1 and length 2 cases.

研究の動機と目的

• 行列モデルスーパーポテンシャルを用いて、イントリリゲイターとウィーチの $σ=1$ スーパーレイノルム場理論におけるADE分類の幾何的実現を確立すること。
• 非孤立特異点をもつ新しい特異幾何学（$\widehat{O}, \widehat{A}, \widehat{D}, \widehat{E}$）を含む、ADE分類の拡張を図ること。
• 遷移関数と行列因子化を用いて、ゴレンシュタイン3次元特異点の小解消および小吹き上げを体系的に記述する手法を構築すること。
• 行列モデルスーパーポテンシャルとADEスーパーポテンシャルの正確な一致を示すことにより、ダイクグラーフ＝ヴァーファ予想に証拠を提示すること。
• 長さ1および2の行列因子化に関して、単純な表面特異点の因子化の変形が、それに対応する3次元特異点の小解消をもたらすことを証明すること。

提案手法

• F. フェッサーリの行列モデル手法を応用し、ADE型特異点をもつケラビ・ヤウ3-foldと行列モデルスーパーポテンシャルとの関係を確立すること。
• トーリックおよび超曲面構成を用いて、各ADEスーパーポテンシャルに対応する明示的なケラビ・ヤウ幾何学を構成すること。
• 特異点の変形理論を用いて、非孤立特異点を特徴とする「ハット」幾何学を導入し、ADE特異点の一般化を図ること。
• 2つの局所座標近傍間の遷移関数を用いて、小解消における例外的 $\mathbb{P}^1$ の系統的収縮（小吹き上げ）を実行するアルゴリズムを開発すること。
• 単純な表面特異点（例：$A_n, D_n, E_6, E_7, E_8$）の行列因子化を用い、変形により3次元特異点の小解消を構成すること。
• 長さ1および2の行列因子化に関して、変形された因子化が対応する3次元特異点の小解消をもたらすことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イントリリゲイター＝ウィーチ分類におけるADEスーパーポテンシャルは、ADE特異点をもつケラビ・ヤウ3foldから導かれる行列モデルスーパーポテンシャルと正確に一致するか？
• RQ2 ADE分類を一般化し、追加のスーパーポテンシャルに対応する新しい特異幾何学を構築できるか？
• RQ3 2つの局所座標近傍とそれらの間の遷移関数のみを用いて、ゴレンシュタイン3次元特異点の小解消をどのように記述できるか？
• RQ4 単純な表面特異点の行列因子化の変形によって、孤立したゴレンシュタイン3次元特異点の小解消を得ることは可能か？
• RQ5 $\widehat{O}, \widehat{A}, \widehat{D}, \widehat{E}$ 特異点の幾何的解釈は、非孤立特異点集合を用いてどのように説明できるか？

主な発見

• イントリリゲイター＝ウィーチ分類におけるADEスーパーポテンシャルは、ADE特異点をもつケラビ・ヤウ3foldから導かれる行列モデルスーパーポテンシャルと正確に一致し、ダイクグラーフ＝ヴァーファ予想に強い証拠を提供する。
• 非孤立特異点をもつ新しい特異幾何学—$\widehat{O}, \widehat{A}, \widehat{D}, \widehat{E}$—が同定され、ADE分類が一般化される。
• 2つの局所座標近傍とそれらの間の遷移関数を用いた、ゴレンシュタイン3次元特異点の小解消の簡潔な2チャート記述が提供される。
• 例外的 $\mathbb{P}^1$ を系統的に収縮することで、小吹き上げを実行するアルゴリズムが開発される。
• 単純な表面特異点（$A_n, D_n, E_6, E_7, E_8$）の長さ1および2の行列因子化に関して、因子化の変形が対応する3次元特異点の小解消をもたらすことが示され、これらのケースで予想が証明される。
• 本論文は、行列モデルスーパーポテンシャルと $σ=1$ スーパーレイノルム場理論の分類との間に幾何的ブリッジを確立し、弦理論、代数的幾何学、ゲージ理論の側面を統合する。