[論文レビュー] Mesoscopic theory of microcracks

Christina Papenfuß, P. Ván+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2002

Elasticity and Wave PropagationEngineering被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、亀列のサイズおよび向きの分布関数を導入することにより、破壊的材料における微亀列の進化を記述する中間スケール理論を構築した。これにより、バランス方程式および動的進化則の導出が可能となった。主な貢献は、熱力学的原則に基づき、織態配向テンソルおよび損傷パラメータを介して微亀列ダイナミクスと巨視的損傷を結びつける体系的な枠組みを提供することである。この理論は、Rice-Griffith型亀列成長則によって検証されている。

ABSTRACT

The mesoscopic concept is a way to deal with complex materials with an internal structure within continuum mechanics. It consists of extending the domain of the balance equations by mesoscopic variables and of introducing a local distribution function of these variables as a statistical element. In our case microcracks are modelled as penny shaped and completely characterized by their diameter and the unit normal to the crack surface. Two examples of crack dynamics are given as well as a possible definition of a damage parameter. Orientational order parameters (fabric-alignment tensors) are defined and balance like dynamic equations for them are derived.

研究の動機と目的

• 古典的連続体力学を超えた、破壊的材料における微亀列ダイナミクスを捉える中間スケールフレームワークの構築を目的とする。
• 微亀列を半円形（ペンニーシェイプド）、固定され、修復されない実体としてモデル化し、半径および向きを特徴づける。
• 中間スケールの分布関数から、平均亀列長および織態配向テンソルなどの巨視的損傷パラメータを導出する。
• 中間スケールのバランス則および亀列成長キネティクスに基づき、これらの損傷パラメータの動的進化方程式を確立する。
• 損傷進化に関する方程式形が類似する点に着目し、中間スケールアプローチを相場変化理論およびLandau型理論と結びつける。

提案手法

• ℝ³ₓ × ℝₜ × M 上に中間スケール場を導入し、M = [lₘ, lₘₐₓ] × S² は亀列サイズおよび向きを表す。
• 位置xおよび時刻tにおけるサイズlおよび法線nを有する亀列を発見する確率密度として、亀列分布関数f(l, n, x, t)を定義する。
• 質量、運動量、角運動量、エネルギーのための中間スケールバランス方程式を導出し、亀列数密度N(l, n, x, t)を含む。
• Rice-Griffith基準に基づく亀列成長則を導入：l ≥ l_c に対して ḋl = −α + βσ²l が成り立ち、σ ∝ (e_z · n)² である。
• f に対するFokker–Planck型方程式を導出：l ≥ l_c に対して ∂f/∂t = −(1/l²) ∂/∂l [l²(−α + βv_σ₀²l t² (e_z·n)⁴)] が成り立つ。
• 巨視的損傷パラメータをfのモーメントとして定義し、スカラー平均亀列長およびテンソリアル織態配向テンソルを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズおよび向きを考慮する連続体力学枠組み内で、微亀列ダイナミクスを体系的かつ包括的に記述する方法は何か？
• RQ2 微小スケールの亀列統計から巨視的損傷進化を導出可能とする適切な中間スケール場理論とは何か？
• RQ3 Rice-Griffith基準のような亀列成長則が、中間スケール分布関数の進化方程式にどのように対応するか？
• RQ4 平均亀列長や織態テンソルなどの巨視的損傷パラメータとは何か？ そしてそれらは時間とともにどのように変化するか？
• RQ5 導出された損傷パラメータの運動方程式が、相場変化モデルや相転移のLandau理論における方程式とどの程度類似しているか？

主な発見

• 中間スケール分布関数f(l, n, x, t)は、中間スケールバランス則および熱力学的に整合性のある亀列成長則に基づき導出された偏微分方程式に従って進化する。
• l ≥ l_c の領域では、分布関数は ∂f/∂t = −(1/l²) ∂/∂l [l²(−α + βv_σ₀²l t² (e_z·n)⁴)] に従って進化し、成長速度は荷重方向に対する亀列法線の余弦の4乗に比例する。
• 巨視的損傷パラメータ（例えば平均亀列長）は、f をlおよびnに関して積分したモーメントとして得られ、その時間的進化は分布関数のダイナミクスから導出される。
• 織態配向テンソルは、f の4階モーメントとして定義され、その進化は、両軸応力下における亀列成長の異方的性質を反映するバランスに類似した方程式に従う。
• 損傷パラメータの運動方程式は、仮定されたものではなく、中間スケールバランス方程式という第一原理から導出されており、相場変化モデルの式と同一の数学的形をとる。
• 臨界亀列長l_c 以下の亀列は成長せず、Griffith基準に整合し、l < l_c の領域では ḋl = 0 とすることで修復されないことを保証している。