[論文レビュー] Mirror symmetry for perverse schobers from birational geometry

Will Donovan, Tatsuki Kuwagaki|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元のカーバイ–ヤウ多様体における崩壊幾何から生じる奇妙なスコーバーの鏡像を、ストップ付きのフクヤカテゴリと整合的構成対応を用いて構成する。2次コンパクトコhomologyが特異多様体上の連接層の導来圏を回復することを示すことにより、同種の鏡像対称性の新たな証明を与える。

ABSTRACT

Perverse schobers are categorical analogs of perverse sheaves. Examples arise from varieties admitting flops, determined by diagrams of derived categories of coherent sheaves associated to the flop: in this paper we construct mirror partners to such schobers, determined by diagrams of Fukaya categories with stops, for examples in dimensions 2 and 3. Interpreting these schobers as supported on loci in mirror moduli spaces, we prove homological mirror symmetry equivalences between them. Our construction uses the coherent-constructible correspondence and a recent result of Ganatra-Pardon-Shende to relate the schobers to certain categories of constructible sheaves. As an application, we obtain new mirror symmetry proofs for singular varieties associated to our examples, by evaluating the categorified cohomology operators of Bondal-Kapranov-Schechtman on our mirror schobers.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元のカーバイ–ヤウ多様体における崩壊幾何から生じる奇妙なスコーバーの鏡像を構成すること。
• 連接層の導来圏とストップ付きのフクヤカテゴリの間のホモロジカル鏡像対称性の同値性を確立すること。
• スコーバーを鏡像モジュライ空間内の部分集合に支持させ、整合的構成対応を介して構成可能層と関連付けること。
• 鏡像スコーバーに分類化されたコホモロジー作用素を作用させることにより、特異多様体上のホモロジカル鏡像対称性の新たな証明を与えること。

提案手法

• 著者たちは、整合的構成対応を用いて、連接層の導来圏と構成可能層の圏を関連付ける。
• ガナトラ–パーソン–シェンデの最近の結果を応用し、マイクロ局所理論を介してスコーバーと構成可能層を関連付ける。
• 3次元多様体におけるフロップから球面対およびフローバーを定義するため、積の導来圏と商構成を用いる。
• ストップ付きのフクヤカテゴリを鏡像側をモデル化するために用い、ストップはラグランジュアンスケルトンによって符号化される。
• ヴェルディエ–ドゥルフィン商とホモトピー上の押し出しを用いて、構成可能層の圏同士を関連付ける。
• 鏡像スコーバーの2次コンパクトコホモロジーは押し出し図式を用いて計算され、特異多様体の導来圏と同値であることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素構造モジュライ空間上で局所定数なフクヤカテゴリの族は、奇妙なスコーバーに拡張可能か？
• RQ2 この鏡像スコーバーは、特異多様体上の連接層の導来圏とホモロジカル鏡像対称性の同値性を満たすか？
• RQ3 ボンダル–カプラノフ–シェフチマンの分類化されたコホモロジー作用素は、鏡像スコーバー上でどのように作用させ、特異多様体上の導来圏を回復できるか？
• RQ4 鏡像スコーバーの構成は、特異トーリック多様体に対する整合的構成対応と整合性を持つか？
• RQ5 フロップから生じるフローバーおよび球面対は、鏡像設定において2次コンパクトコホモロジーを同値に与えるか？

主な発見

• 鏡像スコーバーはストップ付きのフクヤカテゴリを用いて構成され、崩壊幾何から生じる奇妙なスコーバーのカテゴリカルな鏡像を提供する。
• 特異多様体上の連接層の導来圏と鏡像スコーバーの2次コンパクトコホモロジーの間の同値性により、ホモロジカル鏡像対称性が確立される。
• 鏡像スコーバーの2次コンパクトコホモロジーは $ D(X_0) $ を回復し、鏡像対称性の同値性を確認する。
• モルティアモデルにおけるホモトピー押し出し図式を用いることで、鏡像スコーバーが構成可能層の圏の押し出しとして生じることを示す。
• 鏡像スコーバーに分類化されたコホモロジー作用素を作用させることにより、特異多様体におけるホモロジカル鏡像対称性の新たな証明が得られる。
• 結果は、滑らかに細分する極限を用いて、特異トーリック多様体への整合的構成対応の一般化を示唆する。