[論文レビュー] Model structure on projective systems of $C^*$-algebras and bivariant homology theories

Ilan Barnea, M. Joachim+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、弱ファイブレーション圏の枠組みを用いて、分離可能な $C^*$-代数のプロ圏、$\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ にモデル構造を構成し、点をもつ非可換空間の $\infty$-圏をモデル化する。このモデル圏の安定化により、$C^*$-代数の三角的および双変ホモロジー理論の一般形式が得られ、特に適切な条件下でボンカットの構成と一致する新しい双変 $\mathrm{K}$-理論が得られる。

ABSTRACT

Using the machinery of weak fibration categories due to Schlank and the first author, we construct a convenient model structure on the pro-category of separable $C^*$-algebras $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$. The opposite of this model category models the $\infty$-category of pointed noncommutative spaces $\mathtt{N}\mathcal{S_*}$ defined by the third author. Our model structure on $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ extends the well-known category of fibrant objects structure on $\mathtt{SC^*}$. We show that the pro-category $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ also contains, as a full coreflective subcategory, the category of pro-$C^*$-algebras that are cofiltered limits of separable $C^*$-algebras. By stabilizing our model category we produce a general model categorical formalism for triangulated and bivariant homology theories of $C^*$-algebras (or, more generally, that of pointed noncommutative spaces), whose stable $\infty$-categorical counterparts were constructed earlier by the third author. Finally, we use our model structure to develop a bivariant $\mathrm{K}$-theory for all projective systems of separable $C^*$-algebras generalizing the construction of Bonkat and show that our theory naturally agrees with that of Bonkat under some reasonable assumptions.

研究の動機と目的

• 分離可能な $C^*$-代数の圏 $\mathtt{SC^*}$ におけるファイブレーション対象の構造を拡張し、点をもつ非可換空間の $\infty$-圏をモデル化する $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ におけるモデル構造を構成すること。
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ に、分離可能な $C^*$-代数の逆指向極限であるプロ-$C^*$-代数からなる全核心反射的部分圏が存在することを示すこと。
• モデル圏 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ を安定化させ、$C^*$-代数および非可換空間の三角的および双変ホモロジー理論の形式的枠組みを生み出すこと。
• ボンカットの双変 $\mathrm{K}$-理論を一般化し、妥当な仮定の下で一致することを示すこと。

提案手法

• シュランクとバーナーの弱ファイブレーション圏フレームワークを用いて、分離可能な $C^*$-代数の圏をそのプロ圏におけるモデル構造へと持ち上げること。
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ と $\infty$-圏 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*_{\infty}})$ の間のクイレン随伴を構成し、プロ-$\infty$-圏と整合することを保証すること。
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ に、分離可能な $C^*$-代数の逆指向極限であるプロ-$C^*$-代数からなる全核心反射的部分圏を同定すること。
• モデル圏 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ に安定化技術を適用し、双変ホモロジー理論をモデル化するスペクトルの安定 $\infty$-圏を得ること。
• $\infty$-圏的インダーやプロ構成を用いて、安定 $\infty$-圏のスペクトルとプロ圏の安定化との間に自然な同型を与えること。
• 得られた双変 $\mathrm{K}$-理論とボンカットの構成を比較し、適切な仮定（例えば、正規性や安定性）の下で一致することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離可能な $C^*$-代数の圏 $\mathtt{SC^*}$ におけるファイブレーション対象の構造を拡張し、点をもつ非可換空間の $\infty$-圏をモデル化する $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ におけるモデル構造を構築できるか？
• RQ2 プロ圏 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ をどのように安定化させれば、$C^*$-代数の双変ホモロジー理論の形式的枠組みが得られるか？
• RQ3 提案されたプロ-$C^*$-代数のための双変 $\mathrm{K}$-理論は、標準的な仮定の下でボンカットの構成と一致するか？
• RQ4 プロ圏 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ と、分離可能な $C^*$-代数の逆指向極限であるプロ-$C^*$-代数からなる圏との関係は何か？
• RQ5 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ の安定化は、$\mathtt{SC^*_{\infty}}$ の $\infty$-圏的安定化とどのように関係するか？

主な発見

• ファイブレーション対象の構造を拡張し、望ましいホモトピー的性質を満たす $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ におけるクイレンモデル構造が構成された。
• このモデル圏の反対圏は、マハンタが定義した点をもつ非可換空間の $\infty$-圏 $\mathtt{N}\mathcal{S}_*$ をモデル化する。
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ には、分離可能な $C^*$-代数の逆指向極限であるプロ-$C^*$-代数からなる全核心反射的部分圏が存在する。
• モデル圏 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ の安定化により、$C^*$-代数の三角的および双変ホモロジー理論の一般形式的枠組みが得られた。
• プロシステムが正規であり、代数が分離可能な場合、得られたプロ-$C^*$-代数の双変 $\mathrm{K}$-理論はボンカットの構成と一致する。
• $\mathtt{SC^*_{\infty}}$ の $\infty$-圏的安定化は、モデル圏 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ に関連するスペクトルの $\infty$-圏と自然同型である。