[論文レビュー] Noncommutative Motives I: A Universal Characterization of the Motivic Stable Homotopy Theory of Schemes

Marco Robalo|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 49被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、高階圏論と非可換モチーフを用いて、スキームのモチーフ的安定ホモトピー理論の普遍的特徴付けを確立する。対称モノイダル (∞,1)-圏への対称スペクトル構成の拡張により、古典的モチーフ的ホモトピー理論から新しい非可換モチーフ的理論への普遍的なモノイダル関手が得られ、普遍的性質と降下条件を介して可換および非可換代数幾何学の間の体系的比較が可能になる。

ABSTRACT

Let $\V$ be a symmetric monoidal model category and let $X$ be an object in $\V$. From this we can construct a new symmetric monoidal model category $Sp^Σ(\V,X)$ of symmetric spectra objects in $\V$ with respect to $X$, together with a left Quillen monoidal map $\V o Sp^Σ(\V,X)$ sending $X$ to an invertible object. In this paper we use the recent developments in the subject of Higher Algebra to understand the nature of this construction. Every symmetric monoidal model category has an underlying symmetric monoidal $(\infty,1)$-category and the first notion should be understood as a mere "presentation" of the second. Our main result is the characterization of the underlying symmetric monoidal $\infty$-category of $Sp^Σ(\V,X)$, by means of a universal property inside the world of symmetric monoidal $(\infty,1)$-categories. In the process we also describe the link between the construction of ordinary spectra and the one of symmetric spectra. As a corollary, we obtain a precise universal characterization for the motivic stable homotopy theory of schemes with its symmetric monoidal structure. This characterization trivializes the problem of finding motivic monoidal realizations and opens the way to compare the motivic theory of schemes with other motivic theories. As an application we provide a new approach to the theory of noncommutative motives by constructing a stable motivic homotopy theory for the noncommutative spaces of Kontsevich. For that we introduce an analogue for the Nisnevich topology in the noncommutative setting. Our universal property for the classical theory for schemes provides a canonical monoidal map towards these new noncommutative motives and allows us to compare the two theories.

研究の動機と目的

• 対称モノイダル (∞,1)-圏の枠組みの中で、スキームのモチーフ的安定ホモトピー理論の普遍的特徴付けを提供すること。
• 高階代数およびdgカテゴリを用いて、古典的対称スペクトルの構成を非可換設定に拡張すること。
• 非可換空間におけるニスネヴィッチ位相および $ΐ^1$-ホモトピー不変性の非可換類似を導入すること。
• 古典的モチーフ的ホモトピー理論から非可換モチーフ的ホモトピー理論への普遍的なモノイダル関手を確立すること。
• 普遍的性質を用いて、可換および非可換代数幾何学におけるモチーフ的不変量の比較の基盤を築くこと。

提案手法

• ∞-圏的安定化プロセスを用いて、対称モノイダルモデル圏を対称モノイダル (∞,1)-圏へと持ち上げる高階圏論の利用。
• 対称モノイダル (∞,1)-圏における可逆対象 $X$ に関する普遍的安定化として、対称スペクトル圏 $Sp^{Σ}(Σ, X)$ の構成。
• 安定化の普遍的性質を適用し、スキームのモチーフ的安定ホモトピー理論を、テート対象が可逆になるような普遍的な対称モノイダル (∞,1)-圏として特徴付ける。
• dgカテゴリを用いて非可換滑らか空間を定義し、dgカテゴリのニスネヴィッチ正方形を用いて非可換ニスネヴィッチ位相を導入する。
• 非可換ニスネヴィッチ降下および $L_{pe}(ΐ^1)$-不変性に関して局所化した、$Fun(Ν cS(k)^{op}, ˇ Sp)$ の前層圏を用いて、非可換モチーフ的安定ホモトピー圏を得る。
• 局所化および安定化の普遍的性質を用いて、得られた局所化前層圏と非可換モチーフ的安定ホモトピー圏 $σττ_{nc}(k)^{⊗}$ の間に普遍的なモノイダル同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称モノイダル (∞,1)-圏の文脈において、スキームのモチーフ的安定ホモトピー理論を特徴付ける普遍的性質は何か？
• RQ2 高階代数およびdgカテゴリを用いて、非可換空間における対称スペクトルの構成をどのように一般化できるか？
• RQ3 ニスネヴィッチ位相の非可換類似とは何か？ そして、非可換モチーフ的ホモトピー理論における降下をどのように支援するか？
• RQ4 古典的モチーフ的安定ホモトピー理論のスキームは、どのように新しい非可換モチーフ的理論へモノイダルに写されるか？
• RQ5 非可換モチーフ的理論は、ホモトピー不変 $K$-理論に完全に忠実な因子分解をどの程度持つか？

主な発見

• スキームのモチーフ的安定ホモトピー理論は、対称モノイダル (∞,1)-圏の世界における普遍的性質を通じて、テート対象が可逆になるような普遍的な対称モノイダル (∞,1)-圏として普遍的に特徴付けられる。
• $Sp^{Σ}(Σ, X)$ の構成は、可逆対象 $X$ に関する普遍的安定化を提供し、古典的対称スペクトルを ∞-圏的設定へと拡張する。
• dgカテゴリのニスネヴィッチ正方形を用いて、非可換滑らか空間の $(∞,1)$-圏 $Ν cS(k)$ 上に非可換ニスネヴィッチ位相が定義される。
• 非可換モチーフ的安定ホモトピー圏 $σττ_{nc}(k)^{⊗}$ は、ニスネヴィッチ降下および $ΐ^1$-不変性に関して局所化された前層圏 $Fun_{Nis,L_{pe}(ΐ^1)}(Ν cS(k)^{op}, ˇ Sp)^{⊗}$ と普遍的にモノイダル同型である。
• 古典的モチーフ的安定ホモトピー圏 $σττ(k)^{⊗}$ から非可換モチーフ的安定ホモトピー圏 $σττ_{nc}(k)^{⊗}$ への普遍的性質によって誘導される普遍的なモノイダル関手が存在する。
• コンツェビッチの予想（非可換モチーフ的ホモトピー理論における写像スペクトルがテンソル積の $K$-理論に対応する）は、この枠組みにおいて成立すると予想され、モチーフ的関手が $σττ(k)^{⊗}$-加群の形でホモトピー不変 $K$-理論スペクトル $ℇ𝔌𝔌$ を通じて因子分解されることを示唆する。