[論文レビュー] MST in O(1) Rounds of the Congested Clique

Tomasz Jurdziński, Krzysztof Nowicki|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、確率的分散アルゴリズムを提示し、コンフュージョンクラウドモデルにおいて、高確率でO(1)ラウンドで最小全域木（MST）を計算する。これは、スパarsification技術を導入することで達成され、スパース部分グラフの連結成分を組み合わせることで、問題を2つの制限付きインスタンスに還元する。1つは低次数グラフ、もう1つは既知のO(n/log log n)個の成分に分割されたグラフであり、両方とも既存および新規のルーティングおよびサンプリング技術を用いてO(1)ラウンドで解ける。

ABSTRACT

We present a distributed randomized algorithm finding Minimum Spanning Tree (MST) of a given graph in O(1) rounds, with high probability, in the Congested Clique model. The input graph in the Congested Clique model is a graph of n nodes, where each node initially knows only its incident edges. The communication graph is a clique with limited edge bandwidth: each two nodes (not necessarily neighbours in the input graph) can exchange $O(\log n)$ bits. As in previous works, the key part of the MST algorithm is an efficient Connected Components (CC) algorithm. However, unlike the former approaches, we do not aim at simulating the standard Boruvka algorithm, at least at initial stages of the CC algorithm. Instead, we develop a new technique which combines connected components of sample sparse subgraphs of the input graph in order to accelerate the process of uncovering connected components of the original input graph. More specifically, we develop a sparsification technique which reduces an initial CC problem in $O(1)$ rounds to its two restricted instances. The former instance has a graph with maximal degree $O(\log \log n)$ as the input -- here our sample-combining technique helps. In the latter instance, a partition of the input graph into $O(n/\log \log n)$ connected components is known. This gives an opportunity to apply previous algorithms to determine connected components in $O(1)$ rounds. Our result addresses the problem from and the $O(\log \log n)$ algorithm of Lotker et al. [SPAA 2003; SICOMP 2005], improves over previous $O(\log* n)$ algorithm of Ghaffari et al. [PODC 2016] and $O(\log \log \log n)$ algorithm of Hegeman et al. [PODC 2015] . It also determines $Θ(1)$ round complexity in the congested clique for MST, as well as other graph problems, including bipartiteness, cut verification, s-t connectivity and cycle containment.

研究の動機と目的

• コンフュージョンクラウドモデルにおけるMSTのO(1)ラウンド複雑度を達成するという未解決問題を解決すること。
• MSTの既存の確率的境界O(log* n)およびO(log log log n)ラウンドを改善すること。
• 連結性、二部性、サイクル包含性といった関連グラフ問題について、O(1)ラウンド複雑度を確立すること。
• スパース部分グラフのサンプリングと結合を用いた、連結成分計算の高速化のための新技術を開発すること。
• 効率的なルーティングとプロキシベース計算を用いて、複数のアルゴリズムインスタンスを並列に実行可能であることを示すこと。

提案手法

• 元のMST問題を、低次数グラフと分割済みグラフという2つの制限付き部分問題に還元するスパース化技術を導入する。
• ランダムサンプリングを用いて、最大次数O(log log n)のスパース部分グラフを構築し、効率的な成分結合を可能にする。
• √n 個のそのようなスパース部分グラフ上で、プロキシノードを用いて計算を管理する修正版ボルヴカスタイルのアルゴリズムを同時に実行する。
• Lenzenのルーティング補題を活用し、1ノードあたりO(n)メッセージをO(1)ラウンドで送信することで、複数の並列インスタンス間の効率的通信を実現する。
• プロキシノードを用いて、複数の部分グラフインスタンス間でスパニングフォレスト情報を維持・伝搬し、O(1)ラウンドで親ポインタを元のノードにルーティングする。
• MSTを連結成分（CC）に還元し、2つの制限付きインスタンスの結果を組み合わせることで、CCをO(1)ラウンドで解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的アルゴリズムを用いて、コンフュージョンクラウドモデルでMST問題をO(1)ラウンドで解くことは可能か？
• RQ2 標準のボルヴカステップのシミュレーションではなく、スパース部分グラフからの成分を組み合わせることで、連結成分計算を高速化することは可能か？
• RQ3 O(1)ラウンドに制限された場合、コンフュージョンクラウドモデルにおけるMSTおよび関連グラフ問題のラウンド複雑度は何か？
• RQ4 ラウンド複雑度を増加させずに、CCアルゴリズムの複数インスタンスを並列に実行する方法は何か？
• RQ5 プロキシベース計算と効率的なルーティングを用いて、O(1)ラウンドで複雑な分散アルゴリズムをシミュレートすることは可能か？

主な発見

• この論文は、高確率でコンフュージョンクラウドモデルにおけるMSTのO(1)ラウンド複雑度を確立した。
• アルゴリズムは、最大次数O(log log n)のグラフと、O(n / log log n)個の成分に事前に分割されたグラフという2つの制限付きインスタンスにMST問題を還元する。
• 低次数グラフの連結成分は、完全なボルヴカシミュレーションを避ける新規のサンプリングおよび結合技術を用いてO(1)ラウンドで計算される。
• 連結性への還元を用いて、二部性、カット検証、s-t連結性、サイクル包含性といった複数の検証問題についても、O(1)ラウンド複雑度を達成する。
• Lenzenのルーティング補題を活用し、1ノードあたりO(n)メッセージをO(1)ラウンドで送信することで、√n 個のアルゴリズムインスタンスの効率的並列実行が可能になる。
• プロキシノードを用いたアプローチにより、複数のアルゴリズムインスタンスを並列にシミュレートでき、スパニングフォレストからの親情報がO(1)ラウンドで元のノードにルーティングされる。