[論文レビュー] Simple Graph Coloring Algorithms for Congested Clique and Massively Parallel Computation.

Manuela Fischer, Mohsen Ghaffari+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、CONGESTED CLIQUEおよびMassively Parallel Computation (MPC)モデルの両方で最適な$(\Delta+1)$-色分けを達成する、単純なランダム分割技術を導入する。CONGESTED CLIQUEではラウンド複雑性を$O(\log^* \Delta)$に低減し、$O(n^\alpha)$のメモリを各マシンが使用する強力なサブ線形メモリ制約下での最初のサブログラスティック時間MPCアルゴリズムを達成する。

ABSTRACT

We present a very simple randomized partitioning procedure for graph coloring, which leads to simplification or improvements of some recent distributed and parallel coloring algorithms. In particular, we get a simple $(\Delta+1)$ coloring algorithm with round complexity $O(\log^* \Delta)$ in the CONGESTED CLIQUE model of distributed computing. This matches the bound of Parter and Su [DISC'18], which improved on the $O(\log\log \Delta \log^* \Delta)$-round algorithm of Parter [ICALP'18]. Moreover, the same random partitioning leads to a $(\Delta+1)$ coloring algorithm with round complexity $O(\log^* \Delta+ \sqrt{\log\log n})$ in the Massively Parallel Computation (MPC) model with strongly sublinear memory, which is the first sublogarithmic-time algorithm in this regime. This algorithm uses a memory of $O(n^{\alpha})$ per machine, for any desirable constant $\alpha>0$, and a total memory of $\widetilde{O}(m)$, where $m$ is the size of the graph.

研究の動機と目的

• 新しい分割アプローチを用いて、最近の分散および並列グラフ色分けアルゴリズムを単純化・改善すること。
• 近似的に最小のラウンド複雑性を達成する、CONGESTED CLIQUEモデルにおける最適な$(\Delta+1)$-色分けを実現すること。
• 各マシンに強力なサブ線形メモリを割り当てたMPCモデルにおいて、サブログラスティック時間の色分けアルゴリズムを設計すること。
• 異なる並列および分散モデルに適用可能な統一的で単純なフレームワークを提供すること。

提案手法

• グラフをより小さく管理しやすい部分問題に分解するために、ランダムな分割手順が用いられる。
• 共有されたランダムシードに基づいて各頂点がランダムに分割に割り当てられ、負荷分散と通信オーバーヘッドの低減が可能になる。
• 分割により部分グラフの独立した色分けが可能となり、その後、分割間の競合を解決するための局所的調整が行われる。
• この手法は、先行研究の$\log^* \Delta$-ラウンド複雑性を再現するが、分割によってより単純に達成される。
• MPCモデルにおいて、すべてのマシンの合計メモリ使用量が$\widetilde{O}(m)$のまま保たれることを保証する。
• このアプローチは一般性があり、任意の$\alpha > 0$に対して適用可能であり、各マシンに$O(n^\alpha)$のメモリを割り当てることが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純なランダム分割技術は、$O(\log^* \Delta)$ラウンドでCONGESTED CLIQUEモデルにおいて最適な$(\Delta+1)$-色分けを達成できるか？
• RQ2 各マシンに強力なサブ線形メモリを割り当てた制約下で、$(\Delta+1)$-色分けのサブログラスティック時間MPCアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 提案された分割法は、従来の複雑な分散色分けアルゴリズムと比較して、効率性と単純性の点でどのように優れているか？
• RQ4 同じ技術を、最小限の変更でCONGESTED CLIQUEおよびMPCモデルの両方へ適応可能か？
• RQ5 MPCにおいて各マシンに$O(n^\alpha)$のメモリを使用する場合、メモリとラウンド複雑性のトレードオフはどのように変化するか？

主な発見

• アルゴリズムは、CONGESTED CLIQUEモデルで$O(\log^* \Delta)$-ラウンドの$(\Delta+1)$-色分けを達成し、既存の最良の境界と一致する。
• 同じ分割法により、各マシンに$O(n^\alpha)$のメモリを割り当てた場合の、最初のサブログラスティック時間MPCアルゴリズムが得られる。
• MPCアルゴリズムは$\widetilde{O}(m)$の合計メモリを使用し、大規模なグラフに対して効率的かつスケーラブルである。
• このアプローチは、従来の複雑なアルゴリズムを単純化しつつ、ラウンド複雑性を維持または向上させる。
• この手法はモデル間で頑健であり、分散および並列色分けのための統一的フレームワークを提供する。
• アルゴリズムはランダムであり、効率的で、単純なランダム分割と局所的調整にのみ依存する。