[論文レビュー] Natural Stratifications of Reeb Spaces and Higher Morse Functions.

Ryan E. Grady, Anna Schenfisch|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、写像 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ のジャコビ集合を活用することで、リーブ空間および高次モース関数における自然な層化構造を確立する。特定の条件下で、$ X $、$ \mathbb{R}^k $、およびリーブ空間への誘導された構造が層化写像をなすことを示す。さらに、特異点集合を用いて部分順序集合を定義することで、この枠組みを高次モース関数へと拡張し、多パラメータフィルトレーションを定義する。

ABSTRACT

Both Reeb spaces and higher Morse functions induce natural stratifications. In the former, we show that the data of the Jacobi set of a function $f:X o \mathbb{R}^k$ induces stratifications on $X,\mathbb{R}^k$, and the associated Reeb space, and give conditions under which maps between these three spaces are stratified maps. We then extend this type of construction to the codomain of higher Morse functions, using the singular locus to induce a stratification of which sub-posets are equivalent to multi-parameter filtrations.

研究の動機と目的

• 写像 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ のジャコビ集合が、定義域 $ X $、値域 $ \mathbb{R}^k $、およびリーブ空間にどのように層化構造を誘導するかを理解すること。
• $ X $、$ \mathbb{R}^k $、およびリーブ空間の間の写像が層化写像となる条件を同定すること。
• 特異点集合を用いて、リーブ空間の層化枠組みを高次モース関数へと拡張すること。
• 特異点集合から導かれる部分順序集合が、高次モース関数設定における多パラメータフィルトレーションに対応することを示すこと。

提案手法

• 滑らかな写像 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ のジャコビ集合を用いて、定義域 $ X $ に層化構造を定義する。
• ジャコビ集合からの特異構造を引き継いで、値域 $ \mathbb{R}^k $ に層化構造を構成する。
• 関数 $ f $ の等高線集合による同値関係による商として得られるリーブ空間に、$ X $ および $ \mathbb{R}^k $ の層化構造と整合する層化構造を定義する。
• $ X $ からリーブ空間への商写像およびリーブ空間から $ \mathbb{R}^k $ への写像が層化写像となる条件を確立する。
• 高次モース関数へと構成を拡張する際、関数の特異点集合を分析して、値域に層化構造を生成する。
• 層化された値域の部分順序集合を、特異点集合の構造を用いて特定し、多パラメータフィルトレーションに対応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ のジャコビ集合が、定義域 $ X $ にどのように自然な層化構造を誘導するか。
• RQ2 $ X $、$ \mathbb{R}^k $、およびリーブ空間の間の写像が層化写像となる条件は何か。
• RQ3 リーブ空間に用いられる層化枠組みを高次モース関数へ一般化できるか。
• RQ4 高次モース関数の特異点集合が、値域の層化構造をどのように生じさせるか。
• RQ5 層化された値域の部分順序集合と、高次モース理論における多パラメータフィルトレーションとの関係は何か。

主な発見

• 写像 $ f: X \to \mathbb{R}^k $ のジャコビ集合は、滑らかさ構造と整合する自然な層化構造を定義域 $ X $ に誘導する。
• 値域 $ \mathbb{R}^k $ は、ジャコビ集合の像 $ f(\text{Jac}(f)) $ を通じて層化構造を引き継ぎ、層化部分空間を形成する。
• リーブ空間は商 $ X $ からの層化構造を引き継ぎ、適切な横断的条件のもとで、商写像は層化写像となる。
• 関数 $ f $ の特異点が特定の正則性条件を満たす場合、リーブ空間から $ \mathbb{R}^k $ への写像は層化写像となる。
• 高次モース関数の特異点集合は、値域に層化構造を誘導し、多パラメータフィルトレーションの定義を可能にする。
• 特異点集合から導かれる層化された値域の部分順序集合が、高次モース関数設定における多パラメータフィルトレーションと等価であることが示された。