[論文レビュー] New constructions of MDS codes with complementary duals

Bocong Chen, Hongwei Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限体の奇数標数上での線形補完双対（LCD）最大距離分離（MDS）符号の新しい代数的構成を、一般化リード・ソロモン（GRS）符号を用いて提示する。根の分布に基づく新しい重み付け方式を導入し、双対符号の性質を活用することで、著者らは5つの異なる条件下で $[n,k]$ LCD MDS 符号の存在を確立し、 Jin（2016）の先行結果を拡張・精緻化し、次元 $k$ に対する制約を除去した。主な貢献は、$n$ と $k$ が体のサイズ $q$ に近い場合、特に $n < q$ および $2n - k < q \leq 2n$ の困難な領域において、LCD MDS 符号の包括的かつ包括的な存在枠組みを確立したことである。

ABSTRACT

Linear complementary-dual (LCD for short) codes are linear codes that intersect with their duals trivially. LCD codes have been used in certain communication systems. It is recently found that LCD codes can be applied in cryptography. This application of LCD codes renewed the interest in the construction of LCD codes having a large minimum distance. MDS codes are optimal in the sense that the minimum distance cannot be improved for given length and code size. Constructing LCD MDS codes is thus of significance in theory and practice. Recently, Jin (\cite{Jin}, IEEE Trans. Inf. Theory, 2016) constructed several classes of LCD MDS codes through generalized Reed-Solomon codes. In this paper, a different approach is proposed to obtain new LCD MDS codes from generalized Reed-Solomon codes. Consequently, new code constructions are provided and certain previously known results in \cite{Jin} are extended.

研究の動機と目的

• 有限体の奇数標数上でのLCD MDS 符号の構成という未解決問題に取り組むこと、特に $n$ が $q$ に近い場合に焦点を当てる。
• 従来の研究における制限、たとえば $k$ が偶数でなければならないといった制約を克服するため、GRS符号に基づく新しい手法を開発すること。
• $n$, $k$, $q$ の構造的条件の下で $[n,k]$ LCD MDS 符号の存在を確立する統一的枠組みを提供すること。
• 既知のLCD MDS 符号の結果を拡張し、制約を除去し、従来未解決であったパrameter領域をカバーすること。
• $n = q+1$, $n \mid q-1$, $n = p^\ell$ かつ $q = p^e$ の場合、および $n < q$ かつ $n+k \geq q+1$ または $2n-k < q \leq 2n$ を含む2つの新しいケースにおける存在定理を確立すること。

提案手法

• 評価点の差に基づいて定義される特定の重みベクトル $\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)$ を用いて、一般化リード・ソロモン（GRS）符号から $k$ 次元のLCD MDS 符号を構成する。
• GRS符号の双対符号の特徴付けを用いて、$\mathcal{C}$ と $\mathcal{C}^\perp$ の自明な交わりの条件を導出し、これによりLCD性質を保証する。
• 各 $i$ に対して $1 \leq i \leq n$ として、重み $v_i = \prod_{j=1}^{n-k} (\alpha_i - \alpha_{n+j})$ を定義し、符号の構造を $\mathbb{F}_q$ 上の根の分布に関連付ける。
• 多項式補間と根の数え上げの議論を用いて、$\mathcal{C} \cap \mathcal{C}^\perp$ に属する任意のベクトルがゼロでなければならないことを示し、これによりLCD条件を証明する。
• 多項式の積の次数の上限を用いて、得られた関数方程式の唯一の解がゼロ多項式であることを示す。
• 提示された5つのパrameter領域それぞれについて、構築されたGRS符号がLCD条件を満たすことを確認することで、存在性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q > 3$ が奇数の素数べきであるとき、$q$-元 $[n,k]$ LCD MDS 符号が存在する $n$, $k$, $q$ の条件は何か？
• RQ2 次の場合に $k$ が偶数に制限されないで、$n = q+1$, $n$ が $q-1$ を割り切る、または $n = p^\ell$ かつ $q = p^e$ の場合に、LCD MDS 符号の存在を拡張できるか？
• RQ3 $n < q$ かつ $n+k \geq q+1$ の場合に、特に $n$ と $k$ が $q$ に対して大きく、$q$ に近い場合に、LCD MDS 符号を構成できるか？
• RQ4 $2n - k < q \leq 2n$ の場合に、従来の結果が $q \gg n$ を要求するのに対し、この領域に拡張できるか？
• RQ5 提案された手法により、奇数標数体上での $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ の $[n,k]$ LCD MDS 符号について、完全な特徴付けが得られるか？

主な発見

• 本稿では、$n = q+1$ かつ $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ の場合に、$q$-元 $[n,k]$ LCD MDS 符号の存在を確立し、Jinの結果から $k$ が偶数であるという制約を除去した。
• $n$ が $q-1$ を割り切る場合、本稿では $\mathbb{F}_q$ 上ですべての $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ に対して $[n,k]$ LCD MDS 符号の存在を証明し、$n = q-1$ の場合の存在を確認した。
• $q = p^e$ かつ $n = p^\ell$（$1 \leq \ell \leq e$）のとき、すべての $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ に対して $[n,k]$ LCD MDS 符号を構成し、$n = q$ の場合をカバーした。
• $n < q$ かつ $n + k \geq q + 1$ の条件下で、$[n,k]$ LCD MDS 符号の存在を証明し、従来の構成における空白を埋めた。
• $n < q$ かつ $2n - k < q \leq 2n$ の条件下で、$[n,k]$ LCD MDS 符号の存在を確立し、$n$ と $k$ が $q$ に近い場合の新しい族を提供した。
• これらの結果は、Jin（2016）の研究を一般化し、かつ拡張し、従来未解決であったケースをカバーし、特に $n \approx q$ の場合に $k$ に対する制限を除去した。