[論文レビュー] No-Counterterm approach to quantum field theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正則化された関数的シュレーディンガー方程式を用いて、カウンタータームを追加せずにS行列と相関関数を計算するNo-Counterterm量子場理論のアプローチを提案する。この方法では、Fock空間における系の時間発展を行い、正則化を除去することで、カウンタータームを追加しないで結果を得る。$φ^4$理論において、$d=3$での1ループ図と、$d\geq6$でのすべての図が、正則化除去の後も有限であることが示され、発散のない非摂動的枠組みの可能性が示唆される。

ABSTRACT

We give a conjectural way for computing the $S$-matrix and the correlation functions in quantum field theory beyond perturbation theory. The basic idea seems universal and naively simple: to compute the physical quantities one should consider the functional differential Schrodinger equation (without normal orderings), regularize it, consider the regularized evolution operator in the Fock space from $t=T_1$ to $t=T_2$, where the interval $(T_1,T_2)$ contains the support of the interaction cutoff function, remove regularization (without adding counterterms), and tend the interaction cutoff function to a constant. We call this approach to QFT the No-Counterterm approach. We show how to compute the No-Counterterm perturbation series for the $ϕ^4$ model in $R^{d+1}$. We give rough estimates which show that some summands of this perturbation series are finite without renormalization (in particular, one-loop integrals for $d=3$ and all integrals for $d\ge 6$).

研究の動機と目的

• カウンタータームに依存しない、S行列と相関関数を計算する非摂動的枠組みを構築すること。
• 標準的摂動的QFTにおける紫外・赤外発散の問題に、カウンタータームを追加せずに正則化を導入し、その後正則化を除去するスキームを導入すること。
• 特定のフェ Feynman 図が、正則化の除去の極限において、特に$d=3$および$d\geq6$においても有限のままであるかどうかをテストすること。
• 場の配置空間上の半形式の空間における関数的シュレーディンガー方程式の数学的整合性を調査すること。
• 正則化とその後の除去手続きによって、一部の図が有限のままであることから、正則化の必要性を疑問視すること。

提案手法

• スムーズ関数$f_\Lambda(\mathbf{x})$と$g_L(\mathbf{x})$を用いて、紫外（小スケール）および赤外（大スケール）のカットオフにより、場および運動量演算子を正則化する。
• 標準ハミルトニアンに正則化された演算子を適用して得られる、Fock空間上で作用する正則化ハミルトニアン$\hat{H}^{\Lambda,L}(t)$を定義する。
• 相互作用の支持領域を含む区間$(T_1,T_2)$において、Fock空間上でユニタリ時間発展演算子$U_{\Lambda,L}(T_1,T_2)$を用いて系を発展させる。
• 自由ハミルトニアンの発展演算子で装飾された正則化時間発展演算子$S_{\Lambda,L}(g,j)$の強い極限としてS行列$S(g,j) = \lim_{\Lambda,L\to\infty} S_{\Lambda,L}(g,j)$を構成する。
• 正則化理論上で標準的なフェ Feynman 図の技法を用いて摂動級数を展開し、正規順序化に類似した項による自己エネルギー補正に起因する修正された propagator を用いる。
• 運動量空間における発散度$m = d+1 - (d-3)V - E_e $のパワー・カウンティングを評価することで、$\Lambda, L \to \infty$極限における図の積分の収束性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カウンタータームを追加せずに、正則化とその後の除去のみを用いて、量子場理論におけるS行列と相関関数を計算できるか？
• RQ2 $d=3$時空次元における$\varphi^4$理論の1ループ図が、No-Countertermアプローチにおいて正則化除去の後も有限であるか？
• RQ3 正則化除去の極限において、$d \geq 6$のとき、$\varphi^4$理論のすべてのフェ Feynman 図が収束するか？
• RQ4 正則化時間発展演算子の強い極限が、正則化スキーム（$f_\Lambda$, $g_L$の選び方）に依存しないか？
• RQ5 場の配置空間上の半形式の空間において、関数的シュレーディンガー方程式を一貫して解くことができ、非摂動的定式化を可能にするか？

主な発見

• $d=3$時空次元における$\varphi^4$理論の1ループ「フィッシュ」図は、正則化極限において$\mathcal{O}(1)$のスケーリングを示し、発散がないためカウンタータームの必要がないと推定される。
• $d \geq 6$では、$\Lambda, L \to \infty$極限において、$\varphi^4$理論のすべてのフェ Feynman 図が有限であると推定される。発散度$m = d+1 - (d-3)V - E_e $が負になるためである。
• パワー・カウンティングの見積もりにより、一般の$\varphi^4$図の積分は$\mathcal{O}(\Lambda^m)$で有界であり、$m = d+1 - (d-3)V - E_e $であり、負の$m$は収束を意味する。
• 正規順序化に類似した項から生じる発散定数$C_{\Lambda,L} \sim 3h\Lambda^2$は、修正されたpropagator$\frac{1}{p^2 - m^2 + i\varepsilon - gC_{\Lambda,L}}$をもたらし、正則化理論におけるフェ Feynman ルールの再計算に用いられる。
• 2ループ図（外部線2本）は、同じ見積もりにおいて$\sim \Lambda^2$で発散するため、$d=3$において高次のループではNo-Countertermアプローチでもカウンタータームが必要になる可能性があると示唆される。
• 極限$S(g,j) = \lim_{\Lambda,L\to\infty} S_{\Lambda,L}(g,j)$が存在し、位相因子を除いて正則化スキームに依存しないと仮定すると、カウンタータームを含まない非摂動的S行列が得られるとの予想が提示される。