[論文レビュー] Non-perturbative Breakdown of Bloch's Theorem and Hermitian Skin Effects

Zhesen Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2020

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ひとこと要約

この論文は、クーパー対を形成するボソン系において、Blochの定理が非摂動的に破れる現象を示している。ここで準粒子は、複素波数を持つ非Bloch波の重ね合わせとして、両端に局在化する。このメカニズムは、一般化ブリユアンゾーン（GBZ）構造に起因し、特定の対称性によって保護される。その結果、動的安定な境界局在モードを示すZ₂スキン効果が生じる。

ABSTRACT

In conventional Hermitian systems with the open boundary condition, Bloch's theorem is perturbatively broken down, which means although the crystal momentum is not a good quantum number, the eigenstates are the superposition of several extended Bloch waves. In this paper, we show that Bloch's theorem can be non-perturbatively broken down in some Hermitian Bosonic systems. The quasiparticles of the system are the superposition of localized non-Bloch waves, which are characterized by the complex momentum whose imaginary part determines the localization properties. Our work is a Hermitian generalization of the non-Hermitian skin effect, although they share the same mechanism.

研究の動機と目的

• 開境界系においてもBlochの定理が近似的に成立するとされる従来の理解に挑戦すること。
• 境界によって空間並進対称性が明示的に破れるヒルベルト型ボソン系におけるBlochの定理の破綻を調査すること。
• ヒルベルト型系における局在的準粒子の出現メカニズムを確立し、非ヒルベルト型スキン効果を一般化すること。
• 特に、逆転対称性と粒子-hole対称性がZ₂スキン効果を可能にする役割を特定すること。
• 擬ヒルベルト性と左/右固有状態の degeneracy に基づくスキン効果の十分条件を提示すること。

提案手法

• 準粒子に非ヒルベルト的有効ダイナミクスを有するヒルベルト型ボソンハミルトニアンを定式化する。
• 一般化ブリユアンゾーン（GBZ）理論を用いて、開境界条件（OBC）下での固有状態を分析し、標準的なBZ積分に代わる手法を採用する。
• 右固有状態と左固有状態を関係付けるための擬ヒルベルト性条件 $ I_r^{-1} M_B I_r = M_B^ op $ を用い、局在化特性を分析する。
• $ \mathcal{P}_1 $ および $ \mathcal{C}_+ $ 対称性によって、反対側の境界に局在する固有状態のデジェネラシーが生じることでスキン効果の出現を同定する。
• 逆転対称性 $ \mathcal{P}_1 $、粒子-hole対称性 $ \mathcal{C}_+ $ およびそれらの組み合わせ作用の相互作用を分析し、対称性保護型Z₂スキン効果を構築する。
• システムが $ \mu_0 \neq 0 $、$ \mu_z = 0 $ のとき、$ \mathcal{P}_2 $ 表現に移行し、$ \mathcal{C}_+ $ と可換になるため、Z₂スキン効果が自明化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開境界条件を有するヒルベルト型系において、Blochの定理が非摂動的に破綻しうるか？
• RQ2 ハミルトニアンがヒルベルト型であるにもかかわらず、ヒルベルト型ボソン系における局在的準粒子の出現のメカニズムは何か？
• RQ3 逆転対称性や粒子-hole対称性といった対称性が、ヒルベルト型系におけるスキン効果にどのように影響を与えるか？
• RQ4 どのような条件下でヒルベルト型系にZ₂スキン効果が出現し、ZまたはZ₀の場合とどのように異なるか？
• RQ5 標準的なBloch理論が失敗する状況において、一般化ブリユアンゾーン（GBZ）は固有状態をどのように記述するか？

主な発見

• Blochの定理は、特定のヒルベルト型ボソン系において非摂動的に破綻し、すべての準粒子固有状態が境界に局在化する。
• 準粒子は、複素波数を持つ非Bloch波の重ね合わせとして現れ、虚部が局在長さを決定する。
• 逆転対称性 $ \mathcal{P}_1 $ と粒子-hole対称性 $ \mathcal{C}_+ $ が共存する場合、反対側の境界に局在するデジェネレート状態が生じ、Z₂スキン効果を示す。
• $ \mu_0 \neq 0 $、$ \mu_z = 0 $ のとき、システムは $ \mathcal{P}_2 $ 表現に移行し、$ \mathcal{C}_+ $ と可換になるため、Z₂スキン効果は自明化する。
• スキン効果は、互いに反対の境界に局在するデジェネレート固有状態の存在にのみ現れ、これは擬ヒルベルト性と対称性制約によって保証される。
• Z₂スキン効果に必要な一般化ブリユアンゾーン（GBZ）条件 $ |\beta_{p-1}| = |\beta_p| $、$ |\beta_{p+1}| = |\beta_{p+2}| $ は、対称性によって強制されるバンド構造から導出可能である。