[論文レビュー] Non-Bloch PT symmetry breaking: Universal threshold and dimensional surprise

Fei Song, Hongyi Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 48被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2次元以上における非ブロッホPT対称性の破れが、系のサイズが増加するにつれて消失する普遍的な閾値を示している。1次元とは異なり、この閾値は有限のまま保たれない。この現象は、裸の非エルミート性と系サイズの積によって定量化される非摂動的効果的非エルミート性の増大に起因し、巨大な系では無限小の非エルミート性に対しても、複素固有エネルギーへの遷移を引き起こす。

ABSTRACT

In the presence of non-Hermitian skin effect, non-Hermitian lattices generally have complex-valued eigenenergies under periodic boundary condition, but they can have non-Bloch PT symmetry and therefore completely real eigenenergies under open boundary condition. This novel PT symmetry and its breaking have been experimentally observed in one dimension. Here, we find that non-Bloch PT symmetry in two and higher dimensions exhibits drastically different behaviors compared to its one-dimensional counterpart. Whereas Bloch PT breaking and one-dimensional non-Bloch PT breaking generally have nonzero thresholds in the large-size limit, the threshold of two and higher-dimensional non-Bloch PT breaking universally approaches zero as the system size increases. A product measure, namely the product of bare non-Hermiticity and system size, is introduced to quantify the PT breaking tendency. This product being small is required for the perturbation theory to be valid, thus its growth with system size causes the breakdown of perturbation theory, which underlies the universal threshold. That the universal behaviors emerge only in two and higher dimensions indicates an unexpected interplay among PT symmetry, non-Hermitian skin effect, and spatial dimensionality. Our predictions can be confirmed on experimentally accessible platforms.

研究の動機と目的

• 2次元およびそれ以上の次元における非エルミート格子系における非ブロッホPT対称性の破れの挙動を調査すること。
• 高次元における普遍的閾値挙動の起源を解明し、1次元系におけるサイズに依存しない閾値と対比すること。
• 非エルミートスキン効果と空間次元性が、PT対称性の破れの閾値をゼロにまで引き下げる役割を特定すること。
• 裸の非エルミート性と系サイズの積としての普遍的スケーリングパラメータ——効果的非エルミート性の尺度を確立すること。
• この現象が、チェーンバンドや不規則系を含むさまざまなモデルや幾何構造に一般化可能かどうかを確認すること。

提案手法

• 開境界条件（OBC）下で実の hopping を持つ2次元単バンド非エルミート格子モデルを解析し、非エルミートスキン効果により非ブロッホバンドが出現することを確認する。
• 標準的なブロッホバンド理論に代わる一般化ブリユアンゾーン（GBZ）形式を用いて、OBC下での固有状態および固有エネルギーを特徴付ける。
• 裸の非エルミート性 $ \gamma $ と系サイズ $ L $ の積 $ \gamma L $ を導入し、効果的非エルミート性を定量化する。
• 摂動論を用いて実固有エネルギーの安定性を解析し、$ \gamma L \gg 1 $ のとき摂動論の破綻が生じることを特定し、これによりPT対称性の破れの始まりを示す。
• タイトバインディングモデルおよび非エルミートチェーンバンドに対して、正方形および円形幾何におけるサイズ依存エネルギー準位を調査し、普遍的スケーリングを確認する。
• 境界サイトに弱い不規則性を導入し、同様の閾値の崩壊が観測されることから、対称性破れ摂動に対して頑健であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元およびそれ以上の次元における非ブロッホPT対称性の破れは、系サイズに依存する閾値を示すか？ もしそうであれば、系サイズとどのようにスケーリングするか？
• RQ2 高次元における普遍的ゼロ閾値の起源は何か？ 1次元系で観測される有限の閾値とはどのように異なるか？
• RQ3 裸の非エルミート性と系サイズの積 $ \gamma L $ が、効果的非エルミート性および摂動論の破綻をどのように支配するか？
• RQ4 この普遍的閾値挙動は、不規則性や幾何的変化（正方形対円形格子）に対して頑健か？
• RQ5 この現象は、単純なタイトバインディングモデルを超えて、内在的トポロジーを持つ非エルミートチェーンバンドなどに一般化可能か？

主な発見

• 2次元およびそれ以上の次元では、非ブロッホPT対称性の破れの閾値が、系サイズが増加するにつれて普遍的にゼロに近づく。1次元系とは対照的であり、その閾値は有限のまま保たれる。
• 効果的非エルミート性を表す積 $ \gamma L $ は系サイズとともに増大し、摂動論の破綻を引き起こし、無限小の $ \gamma $ に対しても実固有エネルギーから複素固有エネルギーへの遷移を可能にする。
• $ t=1 $, $ s=0.3 $, $ \gamma=0.1 $ の2次元正方形格子において、$ L=10 $ から $ L=70 $ にかけて複素固有エネルギーの割合が増加し、巨大系ではPT対称性の破れが生じることを示している。
• $ t=1 $, $ s=0.5 $ の3次元モデルでも、系サイズが増加するにつれてPT破れの閾値がゼロに近づくことが確認され、2次元を超えた普遍性が裏付けられた。
• 非エルミートチェーンバンドにおける非ブロッホPT対称性の破れは、正方形および円形幾何の両方で、系サイズが増加するにつれて複素固有エネルギーの割合が増加する。不規則性は正方形格子においてこの効果を強化する。
• 弱い境界不規則性に対しても現象は持続し、非再帰的 hopping に依存しないことも、オンサイトの増幅/減衰のみを持つモデルで示された。