[論文レビュー] Noncommutative calculus and operads

Boris Tsygan|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 66被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、オペラッドとホッフシャイルド／サイクリックホモロジーを用いた非可換微分積分学の枠組みを構築し、変形量子化を介してアティヤ＝シンガー指数定理の非可換版を確立する。滑らかで複素解析的多様体の両方に対して代数的指数定理を証明し、変形された代数における射影の差のトレースが形式的ポアソン構造と特性類によって支配されることを示し、最終的な結果は $φ$-twisted $φ$-不変 $√{\widehat{A}}$-類によって表現される。

ABSTRACT

This is a survey of current and recent works on deformation quantization and index theorems.

研究の動機と目的

• 変形量子化とオペラッド的手法を用いて、古典的指数理論を非可換設定へと拡張すること。
• 形式的ポアソン構造を用いて、変形された代数におけるトレースと射影を分類すること。
• 周期的サイクリックホモロジーとホッフシャイルドコサイクルを介して、アティヤ＝シンガー指数定理を非可換代数へ一般化すること。
• ドリンフェルトの結合子とフォーマリティ定理を用いて、滑らかで複素解析的両設定における指数定理の統一的枠組みを確立すること。

提案手法

• 非可換微分形式と多ベクトル場の古典的類似として、ホッフシャイルドのチェーン複体とコチェーン複体を用いる。
• コンツェビッチのフォーマリティ定理とタマリンのオペラッド的証明法を適用し、非可換複体と古典的微分積分構造との関係を確立する。
• 形式的同型写像と $\exp(\iota_\pi / u)$ の合成として、トレース密度写像 $\operatorname{TR}$ を構成し、周期的サイクリックホモロジーとド・ラーム複体を結ぶ。
• $\hbar$ による剰余類化と HKR の準同型写像を介して、主記号写像 $\sigma$ を定義し、$\operatorname{CC}^{\operatorname{per}}_{-\bullet}(\mathbb{A}^\pi)_{\mathbb{C}}$ を $\Omega^{-\bullet}(X)((u))$ に結びつける。
• グッドウィルズの剛性定理を用いて、$\hbar$ で剰余類化した後、$\mathbb{A}^\pi$ と $C^\infty(X)$ の間の準同型写像の正当性を裏付ける。
• 複素解析的状況では $\Phi$-twisted $\widehat{A}$-類を適用し、$\sqrt{\widehat{A}}_\Phi(T_X)_u$ が曲率とホロノミーの情報を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分形式や多ベクトル場といった古典的微分積分構造は、非可換代数へどのように一般化できるか？
• RQ2 オペラッドとフォーマリティ定理は、変形量子化とそのトレースの分類にどのような役割を果たすか？
• RQ3 代数的指数定理は滑らかから複素解析的多様体へどのように拡張され、どのような新しい不変量が出現するか？
• RQ4 変形された代数上のトレースと $\sqrt{\widehat{A}}$ のような特性類との正確な関係は何か？
• RQ5 ドリンフェルトの結合子は、複素解析的状況におけるデータ分類と最終的な指数公式にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 変形量子化代数 $\mathbb{A}^\pi$ の周期的サイクリック複体上のトレース密度写像 $\operatorname{TR}$ は、微分 $ud_{\rm{DR}}$ を持つド・ラーム複体と $\exp(\iota_\pi / u)$ の合成と同型である。
• 主記号写像 $\sigma$ は、HKR同型写像を介して、$\mathbb{A}^\pi$ の周期的サイクリックホモロジーを $\hbar$ で剰余類化したものを、ド・ラーム複体 $\Omega^{-\bullet}(X)((u))$ に同定する。
• 滑らかな多様体の場合、代数的指数定理は $\operatorname{TR}(a) = \iota(\sigma(a)) \wedge \sqrt{\widehat{A}}(T_X)_u$ と表され、ここで $\iota$ は埋め込み、$\sqrt{\widehat{A}}(T_X)_u$ は $u$-twisted $\widehat{A}$-類である。
• 複素解析的状況では、トレース写像 $\operatorname{TR}_\Phi$ は $\Omega^{0,\bullet}(X,\Omega_X^{\bullet})[[\hbar,u]]$ を経由し、微分 $\overline{\partial} + u\partial$ を持つ。指数公式には $\sqrt{\widehat{A}}_\Phi(T_X)_u$ が現れる。
• コンパクト台付き $\mathbb{A}^\pi$ 上の行列に対するトレースの最終的な指数定理は、$\operatorname{Tr}(P-Q) = \langle \tau, \operatorname{exp}(\iota_\pi)(\operatorname{ch}(P_0 - Q_0) \sqrt{\widehat{A}}^\frac{1}{2}(M)) \rangle$ と表され、ここで $\tau$ はポアソントレースである。
• 結果はシンプレクティックな場合にアティヤ＝シンガー指数定理と整合しており、$\sqrt{\widehat{A}}$-類と $\iota_\pi$-twisting を介して、形式的ポアソン構造へ一般化されている。