[論文レビュー] Noncommutative connections on bimodules and Drinfeld twist deformation

Paolo Aschieri, Alexander Schenkel|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ドリンフェルトのねじりを用いて、双加群上の非可換接続の変形を扱うフレームワークを構築し、変形量力学を非不変的準同型および接続へと拡張する。非不変性を考慮したテンソル積接続の曲率公式を確立し、非変形状態における曲率の和の一般化を達成する。

ABSTRACT

Given a Hopf algebra H, we study modules and bimodules over an algebra A that carry an H-action, as well as their morphisms and connections. Bimodules naturally arise when considering noncommutative analogues of tensor bundles. For quasitriangular Hopf algebras and bimodules with an extra quasi-commutativity property we induce connections on the tensor product over A of two bimodules from connections on the individual bimodules. This construction applies to arbitrary connections, i.e. not necessarily H-equivariant ones, and further extends to the tensor algebra generated by a bimodule and its dual. Examples of these noncommutative structures arise in deformation quantization via Drinfeld twists of the commutative differential geometry of a smooth manifold, where the Hopf algebra H is the universal enveloping algebra of vector fields (or a finitely generated Hopf subalgebra). We extend the Drinfeld twist deformation theory of modules and algebras to morphisms and connections that are not necessarily H-equivariant. The theory canonically lifts to the tensor product structure.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学における非不変的準同型および接続へ、ドリンフェルトのねじり変形理論を一般化すること。
• ホップ代数の作用を伴う代数上の双加群の接続を研究すること、特に変形量力学の文脈において。
• 基礎となる代数の準可換性の性質を用いて、双加群のテンソル積上の接続を構築および分析すること。
• 非不変性補正を含む、変形された接続のテンソル積上の曲率公式を導出すること。
• ドリンフェルトのねじり変形の下で、加群および接続のカテゴリカルおよびテンソル構造を拡張し、ホップ代数作用と整合性を保つこと。

提案手法

• $H \otimes H$ 内のドリンフェルトのねじり $φ$ を用いて、ホップ代数 $H$ および代数 $A$ を変形し、新たな代数 $A_\star$ を得る。
• ねじりを用いて、モジュール準同型、接続、およびそれらの曲率を変形し、$A_\star$ 上の変形されたテンソル積構造を用いる。
• ${\mathcal{R}}$-行列を用いて、$V \otimes_\mathcal{R} W$ というねじれたテンソル積を導入し、ホップ代数作用と整合性を保つ。
• $V \otimes_A W$ 上の接続の和 $\nabla_{V} \oplus_\mathcal{R} \nabla_{W}$ の曲率についての公式を導出し、個々の曲率と非不変性に起因する補正項を含む。
• 非不変性補正を表すために、随伴作用 $\overline{R}^\alpha \triangleright \nabla_V$ を用いる。
• 元の構造と変形された構造を結ぶねじり同型 $D_\mathcal{F}$ を用い、カテゴリカル性質を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学におけるドリンフェルトのねじり変形を、非不変的接続および準同型へどのように拡張できるか？
• RQ2 個々の接続が $H$-不変でない場合、二つの双加群のテンソル積上の接続の構造はいかなるものか？
• RQ3 変形された接続のテンソル積加群上の曲率は、個々の接続の曲率の和とどのように異なるか？
• RQ4 代数の準可換性が、双加群接続の一貫性のある変形を可能にする役割は何か？
• RQ5 変形された接続の曲率公式は、元の曲率と非不変性に起因する補正項を用いて表現可能か？

主な発見

• $V \otimes_A W$ 上の変形接続 $\nabla_{V} \oplus_\mathcal{R} \nabla_{W}$ の曲率は、単に個々の曲率 $R_{\nabla_V}$ と $R_{\nabla_W}$ の和ではなく、追加の補正項を含む。
• 曲率公式における補正項は、接続の非 $H$-不変性に起因し、随伴作用 $\overline{R}^\alpha \triangleright \nabla_V$ および $\overline{R}_\alpha \triangleright \nabla_W$ を用いて表現される。
• 接続 $\nabla_V$ または $\nabla_W$ が $H$-不変であれば、補正項は消え、曲率は個々の曲率の和に簡略化される。
• 変形手順は自然にテンソル積構造へと持ち上がり、双加群および接続の代数的・カテゴリカルな枠組みを保存する。
• 理論は、$H$ がベクトル場の普遍包あらわし代数である、可換多様体のドリンフェルトのねじりによる変形量力学へ適用可能である。
• 曲率公式はねじれたテンソル積および ${\mathcal{R}}$-行列を用いて導出され、$\tau_\mathcal{R}$-ねじれ付き合成の役割が明示的な計算で示されている。