[論文レビュー] Nonlocal elliptic equation in Hölder space and the martingale problem

Chengcheng Lin, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Besov-Holder空間における特異な流れを伴う非局所楕円型方程式に対して、Littlewood-Paley理論とBonyの分解を用いてSchauder型推移を確立する。関連するマルティングール問題の解の存在と一意性を証明し、解の1次元分布がBesov空間内に密度を持つことを示し、不規則な係数およびα ∈ (0,1) の場合にまで正則性理論を拡張する。

ABSTRACT

The well-posedness of nonlocal elliptic equation with singular drift is investigated in Besov-Hölder spaces. As an application, we show the existence and uniqueness for corresponding martingale problem. Moreover, we prove that the one dimensional distribution of the martingale solution has a density in some Besov space.

研究の動機と目的

• 非局所楕円型方程式に対して、Besov-Holder空間におけるグローバルなSchauder型推移を確立すること。
• 不規則な係数を有する非局所生成作用素に関連するマルティングール問題の適切性を証明すること。
• 非局所SDEの解の1次元分布がBesov空間内に密度を持つことを示すこと。
• α ∈ (0,1) の場合に、非ゼロで不規則な流れb ∈ C^βを有する状況において、正則性理論を拡張すること。
• 従来の結果を一般化し、ジャンプカーネルκ(x,z)の下界条件を標準的なκ ≥ λ > 0の仮定を越えて弱めること。

提案手法

• 解作用素の周波数局所化最大不等式を導出するために、Littlewood-Paley理論を用いる。
• α ∈ (1,2) および β < 0 の場合に、非局所作用素L_κ^αを扱うためにBonyの分解を適用する。
• uがリゾルベント方程式を満たすとして、変数変換Φ(x) = u(x) + xを用いてSDEを簡略化する。
• 微分同相写像Φを構成し、元のSDEの流れを、有界なジャンプ活動と正則な係数を持つ新しいSDEに還元する。
• Besov空間におけるモーメント推移と補間技術を用いて、解分布の密度を制御する。
• 双対性とBesov空間におけるL^p推移を用いて、遷移密度が特定のγおよびqに対してB^γ_{q,∞}に属することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α ∈ (0,1) の場合に、特異な流れを伴う非局所楕円型方程式に対してSchauder型推移を確立できるか？
• RQ2 ジャンプカーネルκ(x,z)およびb ∈ C^βに対して、マルティングール問題が一意解を持つための条件は何か？
• RQ3 不規則な流れを伴うα安定分布に従うSDEの解の1次元分布がBesov空間内に密度を持つか？
• RQ4 流れが不規則な場合に、変換Φ(x) = u(x) + xの下で解の正則性がどのように保たれるか？
• RQ5 このような特異な流れを伴う非局所SDEの遷移密度の最適な正則性は、Besov空間でどの程度か？

主な発見

• α ∈ (0,1], β ∈ (1−α,ϑ), b ∈ C^β かつ ϑ > max{0,1−α} のとき、方程式λu − L_κ^αu − b·∇u = f は一意解u ∈ C^{α+β} を持ち、推移 (λ−λ₀)‖u‖_{C^β} + ‖u‖_{C^{α+β}} ≤ C‖f‖_{C^β} を満たす。
• α ∈ (1,2) かつ β ∈ (−(α−1)/2 ∧ ϑ, ϑ) のとき、同様の適切性および正則性結果がC^{α+β}で成り立ち、同様の推移が成り立つ。
• α ∈ (0,1] のとき、マルティングール解の遷移密度p_t^X は、0 < γ < α(α+β−1) および 1 ≤ q < d/(d+γ−α(α+β−1)) に対して、Besov空間B^γ_{q,∞}に属する。
• α ∈ (1,2) のとき、密度はp_t^X ∈ B^γ_{q,∞} を満たし、0 < γ < (α+β−1) ∧ (ϑ/α) および 1 ≤ q < d/(d+γ−(α+β−1)∧(ϑ/α)) を満たす。
• 密度の結果は、微分同相写像Φ(x) = u(x) + xを用いた確率測度の変更によって確立され、元のSDEは有界なジャンプ強度と正則な係数を持つSDEに変換される。
• 証明は、Besov空間におけるモーメント推移と双対性の議論に依拠し、解の特性関数のL^pノルムを制御する。