[論文レビュー] Nonvanishing of conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$

Prakash Belkale, Angela Gibney+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、型Aリーリー代数に限定して、$̅{M}_{0,n}$ 上の conformal blocks ディバイザーの消滅しないための必要十分条件を確立する。ランクに依存するディバイザー間の加法的恒等式を導入し、消滅および非消滅結果を強化する。また、シータレベルと臨界レベルが一致する場合に非消滅が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

We introduce and study the problem of finding necessary and sufficient conditions under which a conformal blocks divisor on $\bar{M}_{0,n}$ is nonzero. We give necessary conditions in type A, which are sufficient when theta and critical levels coincide. We show that divisors are subject to additive identities, dependent on ranks of the underlying bundle. These identities amplify vanishing and nonvanishing results and have other applications.

研究の動機と目的

• 型Aリーリー代数に限定して、$̅{M}_{0,n}$ 上の conformal blocks ディバイザーの非消滅の必要十分条件を特定すること。
• conformal blocks バンドルの第一チャーン類が非ゼロとなる幾何学的および表現論的条件を理解すること。
• バンドルのランクに起因する、conformal blocks ディバイザー間の加法的恒等式を探索し、消滅および非消滅結果の強化を可能にする。
• ディバイザーが非ゼロである場合に、それに付随する写像 $\phi_{\mathbb{D}}$ が非自明である条件を明らかにすること。
• バンドルのランクが正であるがディバイザーが消える場合の解明。これは、非自明な写像が予想されるにもかかわらず生じる。

提案手法

• Verlinde の公式と表現論を用いて、$̅{M}_{0,n}$ 上の conformal blocks バンドル $̅{V}_{\mathfrak{g},\vec{\lambda},\ell}$ のランクを計算する。
• 量子ホーン予想と行列因子分解技術を適用し、特定のユニタリ行列が指定された共轭類を持つことと、バンドルの非消滅が同値であることを特徴付ける。
• 重みタプルを部分重みに分解することで、conformal blocks ディバイザーの加法的恒等式を導入し、より小さなリーリー代数におけるランク条件を解析する。
• コインvariant空間 $̅{A}_{\mathfrak{g},\vec{\lambda}}$ 及びその次元を用いてバンドルのランクと比較し、バンドルが非自明であるにもかかわらずディバイザーが消える場合を同定する。
• Pl\
• u00fccker 埋め込みと写像 $φ_{\mathbb{D}}$ を用いて、ディバイザーが自明（すなわち、モジュライ空間全体が一点に収縮する）である場合を分析する。
• conformal blocks バンドルの非消滅と、$×mathbb{P}^1$ 上のベクトルバンドル間のホモモーフィズムに関する線形条件系の解の存在との同値性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\mathfrak{g}, \vec{\lambda}, \ell)$ に対して、$\u0305{M}_{0,n}$ 上の conformal blocks ディバイザー $\mathbb{D}_{\mathfrak{g},\vec{\lambda},\ell}$ が非ゼロであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 バンドルのランクに起因する、conformal blocks ディバイザー間の加法的恒等式はどのように生じるのか？ また、それらは消滅および非消滅に関する何を明らかにするか？
• RQ3 conformal blocks ディバイザーに付随する写像 $\phi_{\mathbb{D}}$ が点に因数分解する（＝ディバイザーが消える）条件は何か？
• RQ4 非自明な conformal blocks バンドルが第一チャーン類がゼロとなる場合、そのような状況はどのように系統立てて特定できるか？
• RQ5 型Aにおいて、シータレベルと臨界レベルが一致するのはどのような場合か？ そして、その一致がディバイザーの非消滅に与える影響は何か？

主な発見

• 型Aにおいて、conformal blocks ディバイザーの非消滅に対する必要条件が与えられ、シータレベルと臨界レベルが一致する場合にはそれが十分条件にもなる。
• バンドルのランクに依存する、conformal blocks ディバイザーの加法的恒等式が確立され、消滅および非消滅結果の強化を可能にする。
• 本稿では、$0 < \operatorname{rk}\mathbb{V}_{\mathfrak{sl}_4,\vec{\lambda},3} = 1$ だが $\dim \mathbb{A}_{\mathfrak{sl}_4,\vec{\lambda}} = 2$ であるような明示的例を構成し、ディバイザーが依然としてゼロであることを示している。
• $\mathbb{D}_{\mathfrak{sl}_4,\{\omega_1,(2\omega_1+\omega_3)^3\},3}$ が、二つの自明なディバイザーへの分解によりゼロであることが示された：$\mathbb{D}_{\mathfrak{sl}_4,\{\omega_1,\ldots,\omega_1\},1} + \mathbb{D}_{\mathfrak{sl}_4,\{0,\omega_1+\omega_3,\omega_1+\omega_3,\omega_1+\omega_3\},2}$、両方とも自明である。
• conformal blocks バンドルの非消滅は、$\mathbb{P}^1$ 上のベクトルバンドル間のホモモーフィズムに関する線形条件系の解の存在と同値であり、これは量子ホーン問題に関連する。
• バンドルの非消滅は、各 $A_i$ が対角行列 $\exp(2\pi i \lambda_i^{(a)}/\ell)$ を持つようなユニタリ行列 $A_i \in \operatorname{U}(r+1)$ が存在し、$A_1 A_2 \cdots A_n = \gamma \operatorname{Id}$ を満たすような条件と同値である。ここで $\gamma = \exp(2\pi i \sum |\lambda_i| / \ell(r+1))$ である。