[論文レビュー] Note on higher-point correlation functions of the $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformed CFTs

Song He|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 73被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、摂動的CFT手法を用いて、$T\bar{T}$および$J\bar{T}$変形を施した2次元 conformal field theories (CFT)における一般のn点相関関数の1次補正を計算する。補正項の解析的表現は、輪郭積分とWard恒等式を用いて導出され、イジング模型におけるout-of-time-ordered相関関数（OTOC）が1次で不変であることを確認することで、両変形が可積分性を保存することを示している。

ABSTRACT

We investigate generic n-point correlation functions of conformal field theories (CFTs), with $T\bar{T}$ and $J\bar{T}$ deformations, in terms of the perturbative CFT approach. We systematically obtain the first order correction to the generic correlation functions of CFTs with $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformation. We compute the out-of-time ordered correlation function (OTOC) in the Ising model with $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformation, which confirms that these deformations do not change the integrable property up to the first order level.

研究の動機と目的

• 一般のn点相関関数に対する$T\bar{T}$および$J\bar{T}$変形CFTにおける1次補正を体系的に計算すること。
• $T\bar{T}$および$J\bar{T}$変形が、対応するCFTの可積分性に与える影響を、out-of-time-ordered相関関数（OTOC）を用いて分析すること。
• 2点および3点関数に用いられた摂動的手法を、ホロモルフィックおよびアンチホロモルフィックな交比を用いて、高次点関数へと拡張すること。
• ホロモルフィックおよびアンチホロモルフィックな交比を用いた、$T\bar{T}$および$J\bar{T}$型演算子に対する明示的な解析的表現を、輪郭積分と簡略化された記法を用いて提供すること。

提案手法

• 摂動的CFTアプローチを適用し、CFT臨界点近傍でラグランジアンを展開し、微小な結合定数$\lambda$を導入することで、元のCFTにおける$\lambda \int d^2z \langle O(z,\bar{z}) \phi_1(z_1) \cdots \phi_n(z_n) \rangle$の形をとる1次補正が得られる。
• Ward恒等式を用いて、相関関数の構造を$2n-3$個のホロモルフィックおよびアンチホロモルフィックな交比で制約し、1次補正の計算を簡略化する。
• 特異性を扱うために、$\mathcal{I}_{i,j}$と呼ばれる特殊な積分を導入し、既知の積分の微分を用いて再帰的関係を導出する。
• 発散を規格化するため、$d = 2 + \tilde{\epsilon}$での次元正則化を用い、特に$\mathcal{I}_{221}$のような積分において、$\tilde{\epsilon} \to 0$極限での極と対数項を抽出する。
• $T\bar{T}$および$J\bar{T}$変形を施したイジング模型におけるOTOCを計算し、量子カオスおよび可積分性の有無をテストする。大スケール$ c $極限と漸近的挙動を用いる。
• 既存の研究で得られた4点関数と結果を照合し、導入した$\mathcal{I}_{i,j}$記法を用いて再表現することで、一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $T\bar{T}$変形は、CFTにおける一般のn点相関関数を、結合定数の1次にどのように変更するか？
• RQ2 $J\bar{T}$変形されたn点関数の1次補正の構造は何か？また、$T\bar{T}$の場合とどのように異なるか？
• RQ3 $T\bar{T}$または$J\bar{T}$変形は、元の可積分なCFTの可積分性を、OTOCによって測定した場合に変更するか？
• RQ4 2点および3点関数に限らない、摂動的CFT手法を高次点関数へ体系的に拡張できるか？
• RQ5 Ward恒等式および交比構造は、変形CFTにおける1次補正の形をどのように制約するか？

主な発見

• $T\bar{T}$および$J\bar{T}$変形CFTにおける一般のn点相関関数の1次補正は、摂動的CFTおよび輪郭積分を用いて導出され、ホロモルフィックおよびアンチホロモルフィックな交比に明示的な依存性を示す。
• $T\bar{T}$変形を施したイジング模型におけるOTOCは、1次では時間発展の後期挙動に変化がなく、変形が可積分性を破っていないことを確認している。
• 同様に、$J\bar{T}$変形を施したOTOCも1次では不変であり、元のCFTの可積分性がこの変形によって保たれていることを示している。
• 高次点関数に生じる複雑な積分を扱うための体系的記法$\mathcal{I}_{i,j}$を提供し、$T\bar{T}$および$J\bar{T}$変形4点関数に対して簡潔な表現を可能にしている。
• $d=2+\tilde{\epsilon}$次元における発散部分$\mathcal{I}_{221}$の計算結果は、$\frac{8\pi}{|z_{12}|^6}\left(\frac{4}{\tilde{\epsilon}} + 2\log|z_{12}|^2 + 2\log\pi + 2\gamma - 5\right)$となり、既存の文献と一致する。
• $\mathcal{I}_{122}$および$\mathcal{I}_{11111}$の$\mathcal{I}_{i,j}$を用いた表現は、以前の研究で得られた$J\bar{T}$変形4点関数を再現し、手法および記法の妥当性を検証している。