[論文レビュー] Note on Poincaré type Kähler metrics and Futaki characters

Hugues Auvray|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンpactなケーラー多様体における単純な正規交叉除法 $D$ の補集合上での極小ケーラー計量に対して、Poincaré型のFutaki字を導入し、除法成分上での勾配ポテンシャルの積分を含む補正項を通じて、古典的Futaki字と関連付ける。主な結果は、除法成分上の平均曲率およびFutaki不変量を含むスカラー曲率の不等式として表される、極小Poincaré型計量の存在に対する数値的障害である。

ABSTRACT

A Poincaré type Kähler metric on the complement X\D of a simple normal crossing divisor D, in a compact Kähler manifold X, is a Kähler metric on X\D with cusp singularity along D. We relate the Futaki character for holomorphic vector fields parallel to the divisor, defined for any fixed Poincaré type Kähler class, to the classical Futaki character for the relative smooth class. As an application we express a numerical obstruction to the existence of extremal Poincaré type Kähler metrics, in terms of mean scalar curvatures and Futaki characters.

研究の動機と目的

• コンパクトケーラー多様体における単純な正規交叉除法に接する正則ベクトル場に対して、Poincaré型Futaki字を定義し、その性質を研究すること。
• この新しいFutaki字が、周囲のケーラー類に対する古典的滑らかFutaki字とどのように関係するかを明らかにすること。
• Poincaré型Futaki字を用いて、極小Poincaré型ケーラー計量の存在に対する数値的障害を導出すること。
• Yau-Tian-Donaldson予想の枠組みを、除法に沿ったカスプ特異性をもつ特異ケーラー計量に一般化すること。

提案手法

• 除法 $D$ に沿ったカスプ特異性をもつPoincaré型ケーラー計量を、標準的カスプ計量に漸近的に類似する形で定義する。
• モデル計量のもとで有界で、$D$ に接する正則ベクトル場に注目する。
• そのようなベクトル場の勾配ポテンシャルとPoincaré型計量のリッチ形式との $L^2$ 内積を用いて、Poincaré型Futaki字 $\mathscr{F}^{D}_{[\omega_X]}$ を定義する。
• Poincaré型Futaki字と古典的滑らかFutaki字との間の明確な公式を確立する：$\mathscr{F}^{D}_{[\omega_X]}(\mathsf{Z}) = \mathscr{F}_{[\omega_X]}(\mathsf{Z}) + \sum_{j=1}^{N} \int_{D_j} f \frac{(\omega_X|_{D_j})^{m-1}}{(m-1)!}$、ここで $f$ は $\mathsf{Z}$ の勾配ポテンシャルである。
• 除法付近での漸近的積構造と、チューブ近傍での極限議論を用いて、$X \setminus D$ 上の計量のスカラー曲率と除法成分上のスカラー曲率との関係を導出する。
• 極小計量に適用するため、スカラー曲率のリーマン幾何的勾配を解析し、除法成分上の平均スカラー曲率と $X \setminus D$ および $X \setminus (D \setminus D_j)$ 上のFutaki不変量を含むスカラー曲率の不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poincaré型ケーラー計量に対するFutaki字は、同一の正則ベクトル場に対して古典的滑らかFutaki字とどのように異なるか？
• RQ2 Poincaré型Futaki字と滑らかFutaki字との間を結ぶ正確な補正項は何か？
• RQ3 極小Poincaré型ケーラー計量の存在に対して、スカラー曲率およびFutaki不変量の観点からどのような数値的障害が生じるか？
• RQ4 除法成分付近での計量の漸近的挙動は、スカラー曲率およびFutaki不変量にどのように影響するか？
• RQ5 Yau-Tian-Donaldson予想の枠組みを、除法に沿ったカスプ特異性をもつ計量に拡張できるか？

主な発見

• Poincaré型Futaki字は、除法の各既約成分上でベクトル場の勾配ポテンシャルの積分を含む補正項によって、古典的滑らかFutaki字と異なる。
• 補正項は明示的に $\sum_{j=1}^{N} \int_{D_j} f \frac{(\omega_X|_{D_j})^{m-1}}{(m-1)!}$ と与えられ、ここで $f$ は正則ベクトル場のリーマン幾何的勾配ポテンシャルである。
• 極小Poincaré型計量に対して、$X \setminus D$ 上の平均スカラー曲率 $\overline{\mathbf{s}}^{D}$ は、各成分 $D_j$ に対して不等式 $\overline{\mathbf{s}}^{D} < \overline{\mathbf{s}}_{D_j}^{D^j} + \frac{1}{4\pi \operatorname{Vol}(D_j)} \left( \mathscr{F}^{D-D_j}_{[\omega_X]}(\mathsf{K}) - \mathscr{F}^{D}_{[\omega_X]}(\mathsf{K}) \right)$ を満たす。
• この不等式は、$D_j$ 付近での漸近的モデル計量におけるパrameter $a_j > 0$ の正の性質に起因する。
• この結果は滑らかな除法の場合と単純な正規交叉除法の場合の両方で成り立ち、後者の場合はチューブ近傍とポテンシャル関数の極限挙動を用いたより洗練された解析が必要である。
• 導出の根拠は、除法 $D_j$ 上でのスカラー曲率の勾配ポテンシャルが平均がゼロになるように正規化されていることである。これにより、Futaki字の差をスカラー曲率の差とパrameter $a_j$ の形に書き直すことができる。