[論文レビュー] Notes on Restricted Inverse Limits of Categories

Inna Entova-Aizenbud|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$GL_\infty = \bigcup_{n\geq 0} GL_n$ の多項式表現の圏が、$GL_n$ の多項式表現の圏の制限付き逆極限として得られることを示す。主な結果は、対応する制限付き逆極限 $\varprojlim_{n\in{\mathbb{Z}}_+,\text{restr}}Rep({\mathfrak{gl}}_n)_{poly}$ と $Rep({\mathfrak{gl}}_\infty)_{poly}$ の間で、整合的な制限函手の系列とフィルトレーションに基づく構成により、対称モノイダルアーベル圏の同値が確立されることである。

ABSTRACT

We describe the framework for the notion of a restricted inverse limit of categories, with the main motivating example being the category of polynomial representations of the group $GL_{\infty}$. This category is also known as the category of strict polynomial functors of finite degree, and it is the restricted inverse limit of the categories of polynomial representations of $GL_n$. This note is meant to serve as a reference for future work.

研究の動機と目的

• 無限次元リー群とその表現の文脈において、特に制限付き逆極限の圏の概念を形式化すること。
• 多項式表現の圏 $Rep(GL_\infty)_{poly}$ が、$GL_n$ の多項式表現の圏の制限付き逆極限として生じることを確立すること。
• $\mathfrak{Res}_{n-1,n}$ の制限函手が ${\mathbb{Z}}_+$-フィルトレーションと整合しており、制限付き逆極限の条件を満たすことを示すこと。
• $Rep({\mathfrak{gl}}_\infty)_{poly}$ と制限付き逆極限圏の間で、対称モノイダル構造およびアーベル構造を保存する同値を証明すること。

提案手法

• 圏の系列 $\mathcal{C}_n$ と函手 $\mathcal{F}_{n-1,n}: \mathcal{C}_n \to \mathcal{C}_{n-1}$ の制限付き逆極限を、対応する対象と同型写像の整合的かつ一貫した族のなす圏として定義する。
• $Rep({\mathfrak{gl}}_n)_{poly}$ の各圏に、対応する分割の長さに基づく ${\mathbb{Z}}_+$-フィルトレーションを導入する。
• $\mathfrak{Res}_{n-1,n}$ の制限函手が短縮函手であり、フィルトレーション構造を保存することを示す。
• 命題 6.1.1 を用いて、${\mathbb{Z}}_+$-フィルター付き圏 $Rep({\mathfrak{gl}}_n)_{poly}$ の逆極限が制限付き逆極限の条件を満たすことを証明する。
• 函手 $\Gamma_n = (\cdot)^{{\mathfrak{gl}}_n^\perp}$ を用いて、対称モノイダル同値 $\Gamma_{\text{lim}}: Rep({\mathfrak{gl}}_\infty)_{poly} \to \varprojlim_{n\in{\mathbb{Z}}_+,\text{restr}}Rep({\mathfrak{gl}}_n)_{poly}$ を構成する。
• 同型写像 $\phi_{n-1,n}$ 沿いの整合的系 $M_n$ の直極限をとることで、逆函手 $\Gamma_{\text{lim}}^*$ を定義し、$\mathfrak{gl}_\infty$-加群構造を付与する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル的、加法的、対称モノイダル的といったカテゴリカル構造を保存するような、圏の制限付き逆極限を定義する方法は何か？
• RQ2 フィルター付き函手の系の逆極限が、$GL_\infty$ の多項式表現の圏に同値であるための条件は何か？
• RQ3 制限函手 $\mathfrak{Res}_{n-1,n}$ は、$Rep({\mathfrak{gl}}_n)_{poly}$ 上の ${\mathbb{Z}}_+$-フィルトレーションとどのように作用するか？
• RQ4 $Rep({\mathfrak{gl}}_\infty)_{poly}$ の圏は、自然に $Rep({\mathfrak{gl}}_n)_{poly}$ の制限付き逆極限に同値であるか？
• RQ5 逆極限の構成は、表現圏の対称モノイダル構造と適合可能か？

主な発見

• $Rep({\mathfrak{gl}}_\infty)_{poly}$ は、対称モノイダル同値 $\Gamma_{\text{lim}}$ を通じて、制限付き逆極限 $\varprojlim_{n\in{\mathbb{Z}}_+,\text{restr}}Rep({\mathfrak{gl}}_n)_{poly}$ に同値である。
• $\mathfrak{Res}_{n-1,n}$ の制限函手は短縮函手であり、${\mathbb{Z}}_+$-フィルトレーションを保存するため、制限付き逆極限の構成が可能になる。
• 逆極限圏は、個々の $Rep({\mathfrak{gl}}_n)_{poly}$ 圏から引き継いだアーベル的、加法的、対称モノイダル的構造を持つ。
• 逆函手 $\Gamma_{\text{lim}}^*$ は、同型写像 $\phi_{n-1,n}$ 沿いの整合的系 $M_n$ の直極限をとることで構成され、$\mathfrak{gl}_\infty$-加群構造が得られる。
• $\Gamma_{\text{lim}}^* \circ \Gamma_{\text{lim}}$ は、$Rep({\mathfrak{gl}}_\infty)_{poly}$ 上の恒等函手と自然同型であることが示され、同値性が確認される。
• この構成は [3] で定義された安定逆極限と等価であり、分野内の先行研究と整合的であることが確認される。