[論文レビュー] Numerical irreducible decomposition of multiprojective varieties

Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2015

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、多射影的多様体の多次数情報を符号化するための複数射影的ウェイトセットを導入し、数値的既約分解、再生法による解法、トレーステストを多射影的設定に一般化する。このアプローチにより、多射影空間における既約成分の多次数データを伴った数値的計算が可能になる。

ABSTRACT

In the field of numerical algebraic geometry, positive-dimensional solution sets of systems of polynomial equations are described by witness sets. In this paper, we define multiprojective witness sets which will encode the multidegree information of an irreducible multiprojective variety. Furthermore, we generalize the regeneration solving procedure, a trace test, and numerical irreducible decomposition to the multiprojective case. Examples are included to demonstrate this new approach.

研究の動機と目的

• 古典的な射影的技法ではカバーされない多射影的多様体への数値代数幾何の手法の拡張を図ること。
• 多射影空間における既約成分の多次数情報を保持する数値的フレームワークの開発。
• 再生法による解法およびトレーステストといった主要な数値的アルゴリズムを多射影的設定に一般化すること。
• 多射影的システムにおける正次元解集合の既約分解のための計算ツールの提供。

提案手法

• 多次数情報を符号化する既約成分の数値的表現としての複数射影的ウェイトセットを定義する。
• 線形ホモトピーを用いて多射影空間におけるウェイトセットを構築する再生法手順を多射影的設定に適応する。
• 多射影的文脈における計算されたウェイトセットの正しさを検証するため、トレーステストを一般化する。
• 各射影的因子における次数の追跡を通じて、ウェイトセットフレームワークに多次数計算を統合する。
• 数値的連続法を用いて解を計算し、多射影的設定におけるトレーステストにより既約性を検証する。
• 多次数情報を保持する多射影的ウェイトセットを出力する数値的既約分解アルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多射影的多様体における既約成分の多次数情報を、どのように数値的に符号化できるか？
• RQ2 多射影的代数的集合に再生法による解法を適用するためには、どのような修正が必要か？
• RQ3 トレーステストは多射影的状況におけるウェイトセットの検証に一般化可能か？
• RQ4 多次数データを保持しつつ、数値的既約分解を多射影的多様体にどのように拡張できるか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、ベンチマーク用の多射影的システムにおいて、どのように計算的挙動を示すか？

主な発見

• 複数射影的ウェイトセットは、多射影的多様体における既約成分の多次数情報を効果的に符号化できた。
• 再生手順は多射影的設定に一般化され、ウェイトセットの効率的構築を可能にした。
• トレーステストは多射影的空間におけるウェイトセットの検証に拡張され、計算された成分の正しさを保証した。
• 数値的既約分解は多射影的多様体に一般化され、多次数データが全体を通して保持された。
• 本フレームワークにより、数値的手法を用いて完全な多次数情報を有する既約成分の計算が可能になった。
• 具体例により、非自明な多射影的システムにおいて、本手法の実行可能性と正しさが示された。