[論文レビュー] On 2-Dimensional Dijkgraaf-Witten Theory with Defects

Aria L. Doughterty, Hwajin Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、フラッグ型の三角形分割条件と、欠損エッジ用の第二ゲージ群を導入することにより、2次元のDijkgraaf-Witten理論にcodimension-1の欠損（曲線）を含む位相的量子場理論を構築する。主な貢献は、三つの群（H, X, G）におけるねじれコサイクルを用いて定義される、曲線を含む曲面のための位相的不変量の構成であり、これは内部自由度を欠損に持つ未ねじれDijkgraaf-Witten不変量を一般化したものである。

ABSTRACT

In this paper, we provide a construction of a state-sum model for finite gauge-group Dijkgraaf-Witten theory on surfaces with codimension 1 defects. The construction requires not only that the triangulation be subordinate to the filtration, but flag-like: each simplex of the triangulation is either disjoint from the defect curve, or intersects it in a closed face. The construction allows internal degrees of freedom in the defect curves by introducing a second gauge-group from which edges of the curve are labeled in the state-sum construction. Edges incident with the defect, but not lying in it, have states lying in a set with commuting actions of the two gauge-groups. We determine the appropriate generalizations of the 2-cocycles specifying twistings of defect-free 2D Dijkgraaf-Witten theory. Examples arising by restriction of group 2-cocycles, and constructed from characters of the 2-dimensional guage group are presented. This research was carried out at Summer Undergraduate Mathematics Research (SUMaR) math REU at Kansas State University, funded by NSF under DMS award #1262877.

研究の動機と目的

• 曲面内のcodimension-1の欠損（曲線）を含む2次元Dijkgraaf-Witten理論を拡張すること。
• 欠損曲線に内部自由度を組み込むために第二ゲージ群を用いた状態和モデルを定義すること。
• 未ねじれDijkgraaf-Witten不変量の2-コサイクルのねじれを、欠損構造を扱えるように一般化すること。
• フラッグ型の三角形分割の移動に関して位相的不変性を保証し、曲線を埋め込んだ曲面に対する明確に定義された不変量を確立すること。

提案手法

• 各2単体が欠損曲線と面または全く交差しないようなフラッグ型の三角形分割を導入し、欠損構造と整合性を持つようにする。
• 三つの群からのラベルを割り当てる：H（欠損エッジ用）、X（接続エッジ用）、G（ボリュームエッジ用）、状態はHとGの可換作用の下で変換される。
• 三つの関数α, β, γを群の2-コサイクルから得る状態和不変量を定義し、一貫性を保つために一般化されたコサイクル条件（1）〜（4）を満たす。
• ラベリングに許容性条件を課し、すべての単体における局所状態値の積が位相的不変量となるようにする。
• フラッグ型のAlexander移動と拡張されたPachner移動を用いて、三角形分割の変更に対して不変であることを証明し、位相的安定性を保証する。
• グローバルな2-コサイクルの制限と、ゲージ群のキャラクターを用いて例を構築し、非自明な初期データを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元Dijkgraaf-Witten理論は、内部自由度を有するcodimension-1の欠損をどのように拡張できるか？
• RQ2 三角形分割の移動に関して不変性を保つために、ねじれコサイクルα, β, γが満たすべき条件は何か？
• RQ3 群のキャラクターまたは制限されたコサイクルから、状態和モデルの非自明な初期データを構築できるか？
• RQ4 フラッグ型の三角形分割条件は、どのように欠損構造と整合性を持ち、位相的不変性を保証するか？
• RQ5 三つの群H, X, Gは、欠損とボリュームのゲージ対称性をどのように符号化するか？

主な発見

• 状態和不変量Z(Σ, C)はフラッグ型の三角形分割の選び方に依存せず、曲線を埋め込んだ曲面に対する位相的不変量として成立する。
• 未ねじれDijkgraaf-Witten不変量を一般化するにあたり、欠損エッジに第二ゲージ群Hを導入し、H×G作用に関して可換な集合Xを接続エッジに割り当てた。
• 一般化されたコサイクル条件（1）〜（4）は状態和の一貫性を保証する。ここで（1）〜（3）は2-コサイクル条件に還元され、（4）は群作用との整合性を保証する。
• 非自明な初期データは、より大きな群Γ上のグローバル2-コサイクルを部分群H, GおよびHとGの作用に関して閉じた集合Xに制限することによって構成される。
• GとHのキャラクターを用いた追加の例も構築され、βとγはX上でHとGの軌道に依存しないキャラクターで定義され、αは1に設定される。
• 不変量はフラッグ型のAlexander移動に関して不変であり、頂点の順序が結果に影響しない。これは拡張されたPachner移動の不変性による。